1樓：klam
Dyson曾經說過
有些數學家是鳥，其他的則是青蛙。鳥翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遙遠地平線的廣袤的數學遠景。他們喜歡那些統一我們思想、並將不同領域的諸多問題整合起來的概念。
青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周圍生長的花兒。他們樂於探索特定問題的細節，一次只解決乙個問題。我碰巧是乙隻青蛙，但我的許多最好朋友都是鳥。
在我看來，分析學主要處理數學的角度就是青蛙型的。因為分析學的主要的工具，方程，不等式，指標理論（我說的是我熟悉的那個辛道路指標理論）等等等等這些東西，都是在告訴你怎麼樣精細地刻畫乙個東西和它的變化。而本身這種刻畫會給你乙個可以操作的著力點和角度去正面硬剛你要解決的問題。
舉例來說，丘成桐證明Calabi–Yau theorem和Perelman對Poincaré conjecture的工作，最主要的部分都是在這個著力點上選擇用分析的方法去正面解決的。
所以說，在你想要像青蛙那樣去細緻的研究某個具體的問題，或者給出某個數學物件乙個精細的刻畫的時候，你在很大程度上會分析學的工具來幫你做到這一點。
而這也就是為什麼一般擅長分析工具的數學家，比如陳老爺子，張恭慶，Rabinowitz等等都比較長壽，而且一大把年紀的時候還有精力繼續做數學研究的原因。
嗯，一定是這樣沒錯的。
2樓：Yuhang Liu
回答這種問題首先需要知道「分析學」是什麼。如果讓我用自己的語言描述的話，分析學就是「拓展了的微積分」。只要有導數出現的地方，就可以用到分析的工具。
3維龐加萊猜想能用PDE的工具解決其實不是什麼很意外的事情。20世紀中葉拓撲學家就知道了3維拓撲流形帶唯一的微分結構（up to diffeomorphism），所以我們只需要考慮3維微分流形；而微分流形上都存在乙個黎曼度量（by partition of unity，參考任何一本黎曼幾何教科書）。所以我們只需要考慮3維黎曼流形。
在證明3維龐加萊猜想的過程中，重要的不是我們用拓撲的工具還是用分析的工具——事實上Perelman的證明也不是純粹幾何分析的證明，也用到了拓撲裡的surgery theory，也用到了度量幾何（Alexandrov space相關）——重要的是我們選擇怎麼具體的geometric flow。而Hamilton發現normailized Ricci flow在3維的時候可以把非負曲率度量演化成常曲率度量，這就帶來了解決龐加萊猜想的希望；當初Hamilton提出Ricci flow也就是為了解決龐加萊猜想，這個目的從一開始就是明確的、直截了當的，並不存在乙個迂迴的過程。
分析學本身是乙個基礎性的東西。比如你去學微分幾何，你去看黎曼流形的定義：「乙個可微流形的切叢上帶乙個2階對稱正定張量」，可微流形就是說上面可以定義可求導的函式，切叢說白了就是流形本身的導數，你看他從娘胎裡出來就帶著導數，不用說後面還有協變導數之類的東西。
所以微分幾何能大量用到分析的工具是毫不意外的，只不過區別在於具體用了哪些工具。如果是研究測地線測地流則可能用到很多動力系統，如果是研究拉普拉斯運算元的譜則會用到大量的橢圓PDE理論。其他一切要求導、能求導的數學領域，用到分析學的工具都很正常。
代數幾何對其他的數學分支有哪些影響？
一公尺陽光 這個嘛。首先，代數幾何對丟番圖方程的可解性問題和研究提供現代化方法 其次，代數幾何對於代數數論的影響是相當深遠 再次，代數幾何對於拓撲的研究可是一套一套的。對，還有表示論，記公式等等 高町奈葉 我想 代數幾何 這個名詞既可以表示代數幾何中的方法，也可以表示代數幾何中的問題，只是從問題來說...
已學《Thomas Calculus》，數學分析方面哪本書能看懂適合高階？
強烈建議rudin的數學分析原理，zorich的數學分析。菲赫金格爾茲神馬的還是算了，只是微積分的書，沒必要再看一遍，上面那兩本書，rudin對讀者證明能力的訓練非常好，可以說是一道分離數學系和其它系的鴻溝，zorich講的內容觀點非常高例項也不少習題異常難，放到學完微積分之後再來一遍也是很合適的。...
數學分析到底要學什麼？
數學思維的構建 對於非數學系的學者來說，數學只是乙個有用的工具對於數學系的學者來說，他們的任務是創造更多的可以用的數學工具從知道各個數學工具的定義和用法，到知道這些數學工具是怎麼被創造出來 構造的思維與方法 的，並模仿這些數學工具構造的方法創造新的數學工具，就是數學思維構建的過程 無知者 別緊張，沒...