1樓：一公尺陽光
這個嘛。。。首先，代數幾何對丟番圖方程的可解性問題和研究提供現代化方法；其次，代數幾何對於代數數論的影響是相當深遠；再次，代數幾何對於拓撲的研究可是一套一套的。。。。。對，還有表示論，記公式等等
2樓：高町奈葉
我想「代數幾何」這個名詞既可以表示代數幾何中的方法，也可以表示代數幾何中的問題，只是從問題來說，代數幾何本就是乙個相當程度上的交叉學科，從方法上來說，對於其他學科的裨益當然也是非常多的。
對於數論，其實大量的數論問題就是代數幾何（或者說，算術幾何）問題，談不上什麼應用，簡單的例子：利用類域論能把Weil猜想變成特徵和估計，學過數論的都知道，這當然能應用在數論中，比如說Diophantine方程。
同樣地，Deligne把Hecke運算元改造成了代數幾何形式，主要利用Eichler和Shimura的結果，這樣Ramanujan-Petersson猜想就能化成Weil猜想。
以及，Mordell猜想，Faltings說過，他是乙個代數幾何家而不是數論家，他的主要工作是證明了Tate猜想和Shafarevich猜想，核心工作是對Z上的Abel簇的模空間進行緊化，然後利用Height的基本有限性定理證明了數域K上Abel簇的isogenous有限性定理，那麼和Tate證明的有限域情況Tate猜想一樣，無數個isogenous同構的「緊」性質導致Tate猜想，而對Jacobian簇的應用導致Shafarevich猜想。就算是Vojta的證明也是依賴代數幾何的，其實如果問Height或者L函式是乙個代數幾何還是數論的工具的話，是沒有結果的，同樣，連形變理論也可以用在數論中，這是Mazur引入的，在Wiles證明FLT的非常重要的方法。
就像這樣，代數幾何當然地已經成為乙個工具，對於Abel簇、代數曲線有這麼多的結果，為什麼不用？
對幾何學，本來代數幾何就是乙個幾何學，C上的代數幾何和也可以用復幾何和微分幾何的方法來研究，這部分本來就是錯亂的，比如說Hartshorne猜想，Mori和Yau分別用代數幾何和復幾何證明。真正意義上的對其他學科的啟迪，大概還是要算模空間，Mumford在2023年構造了概型對作用於其上的群的商的GIT（幾何不變數）理論，如果這個概型是Hilbert概型中對應虧格g曲線的，G是PGL，那麼這就是虧格g曲線的模空間，同樣地可以構造向量叢的模空間，他的主要工作是保證商的良好性質的Hilbert-Mumford穩定性判據，Atiyah和Bott在1983把黎曼面上向量叢的Mumford穩定與Hermitian-Yang-Mills connection聯絡了起來，然後就是著名的Donaldson的Kahler曲面上ASD聯絡和穩定向量叢的聯絡的文章，對數學物理影響之深遠只能讓未來驗證了。
3樓：韓鳳鳴
張益唐那個孿生素數間隔上界的證明裡，有一部分餘項的估計用的是代數幾何裡的結論。（本人不清楚證明細節，該回答基於張先生的某次報告）
4樓：數學史大叔
格羅騰迪克在代數幾何的研究中創造了K理論，後經由阿蒂亞等人引入到拓撲學，現在K理論是代數拓撲分支中的熱點專題，用來建立廣義的上同調理論。
運算元代數是一門怎樣的數學分支？學習運算元代數需要怎樣的基礎？
在物理學的應用，經典的上面提到了，von Neumann和後來Gelfand Naimark Segal的工作 最近幾十年 30大概 的直接應用乙個是代數場論algebraic qft，公理化場論的乙個方向，是GNS思想 以可觀測量構成的代數為本 在qft的直接運用，乙個很好的survey可見htt...
分析學在其他數學分支中能發揮多大的作用？
klam Dyson曾經說過 有些數學家是鳥，其他的則是青蛙。鳥翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遙遠地平線的廣袤的數學遠景。他們喜歡那些統一我們思想 並將不同領域的諸多問題整合起來的概念。青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周圍生長的花兒。他們樂於探索特定問題的細節，一次只解決乙個問題。我碰巧是乙隻青蛙，但...
高等代數和數學分析之間的區別和聯絡有哪些？
象山又溪 其他答覆基本隔靴搔癢，流於表面。高等代數和數學分析的區別和聯絡，這麼巨集觀的問題應該著手於巨集觀角度來分析，而非細枝末葉的堆砌，反而如盲人摸象 不得要領。乙個好的模擬有助於概念的理解，起到事半功倍的作用，下面將試圖找出一些模擬，來簡化理解。當然，模擬都是從某種角度來出發，不能做到百分百相似...