1樓：Mohiti
看到有回答裡有張圖有各種各樣的理論和系統。對普通人來說看不懂，也懶得查。
我就舉個例子。現在人人用的導航的背後，就是數學的圖形理論：尋找最短路徑用Dijkstra Algorithm.
2樓：查理
微積分是解析函式的特例，解析函式是半解析函式的特例；共軛解析函式和解析函式是姐妹篇，在應用上共軛解析函式比解析函式更直觀。
麥克斯韋方程組是物理實驗結果，不是理論解。
王見定教授用半解析函式理論破解麥克斯韋方程組（平面靜電磁場）。
3樓：
拋開微分幾何，實分析這種根本上屬於微積分的自然發展的分支，我覺得近現代數學上有著突破性進展的領域有三個，或者可以進一步縮減成兩個：
線性代數和抽象代數為代表的代數發展，成為了數學最基礎的工具。以拓撲學為代表的幾何爆發性地發展，讓幾何普通了傳統的圖形和空間的領域，而是成為了研究諸多問題極其有力的工具。
用拓撲解決非傳統的平面和立體幾何問題的人真的是天才。
這是從工具角度上說的，假如從研究物件上說的話，近現代數學最大的發展是發明了計算機，使得演算法成為了微分方程之後數學最大的衣食父母。
4樓：
這年頭誰還只用微積分作為具體工具啊，就好像都一戰了你還用紅纓槍？馬克沁表示很喜歡你這樣的勇士。
那只是化學這類辣雞專業為了不讓人員流失設計的壁壘而已，正常都應該去學數學分析啊，要不很多概念你都不知道，什麼實數七定理、一致收斂等等，咋往下學習和轉（跨）行。
就算是應用層面，各種數理方法和特殊函式，數值分析都已經大行其道好多年了；理論層面，實變函式和近世代數都已經成為了百年前的學科，題主關心過這些，研究過這些嗎，我覺得恐怕沒有，否則不該問出這樣可笑的問題，這看起來更像是思而不學則殆。
比如，你自己看過量子力學嗎？上面解各自簡單的量子體系，不都是數理方法（比如諧振子和氫原子）？計算化學體系，HF自洽場不都是數值積分迴圈迭代？
誰是用手算的。你能夠輸出解析解的問題，通常都是真的簡單問題，我說句打擊的話，不然可參考三體問題中你能夠找出幾個合適的解析解。
再說，微積分這種研究連續函式甚至可導函式的數學，本身就有其天然的侷限性：它要去體系本身巨集觀小（否則微分沒意義），微觀大（否則平均沒意義）。
你認真學過大學物理嗎？電磁學的基礎是什麼自己考慮考慮？如果承認電荷量子化，為啥還要用微積分？
就是認為巨集觀因素是主要因素，認為巨集觀平均處理是合理的，不考慮量子效應影響，否則量子力學為啥在歷史上出現晚那麼多，先人們在這種方面恐怖如斯。正是因為Riemann積分的侷限性，才有了實變函式研究積分與測度，否則有啥意義。
工具只有用得著再去學的實用主義我覺得沒有任何可以指摘之處，只是難以操作。我當初學電磁學的時候，我也沒覺得KCL和KVL有什麼更深的東西，只有回過頭看過了一點離散，再複習這裡，猛然間發現，可以去嚴謹論證Kirchhoff方程組的相容性，原則上這裡總是可以做得到的。
所以，儘管我的水平也還有限，還看不到天邊，但是我等理學人本科階段恐怕還用不著現代數學的革命性工具，問了也白問。
對於物理中的應用數學，我一般持有的觀點個人稱之為「分支語言論」：基本上物理大類是一種分支對應一大類語言。
比如電磁學與電動力學，核心數學語言是向量和張量分析，個人用的是國科大的本科物理教材自學，不會張量分析推導向量分析公式寸步難移；理論力學則是變分法和多元函式微分學（矩陣形式）；熱力學用多元函式微分學和向量分析就夠了，而統計物理學則用概率論為主；量子力學我只學過一點初量，主體是數理方法和特殊函式，群論基礎都用的少。
微積分要是夠用，向後發展向量分析與張量分析、數理方法和特殊函式，還有群論基礎就沒意義了。
個人信奉的觀點是，當年能夠自覺的覺察到往下研究時有了某種新的數學語言法需求的時候，你離去學下一門課就不遠了。否則都是瞎學。學而無所用，是不如不學也。
5樓：學半
微積分之後有新微積分：https://
zhuanlan /p/266752173
新數論：微積分量子化重構的理論基礎
如何統一廣義相對論和量子理論？答世界頂尖科學家提問
6樓：
對於多自由度複雜體系來說，最重要的是去發展物理想法，而不是數學工具。
現在來說，最重要的數學突破是怎麼去更深刻的理解路徑積分。路徑積分現在依然沒有嚴格的數學formulation。
7樓：
廣義地講，微分方程、積分方程、級數展開、積分變換、路徑積分、微分幾何……等等也是微積分相關的內容。
線性代數應該看作多元微積分的前置課程而不是後續發展。
稍複雜的物理問題，如果是要計算的話，一般是繞不開微積分的，頂多是利用對稱性或者路徑變換或者級數展開或者別的方法來簡化計算。
8樓：
我覺得橢圓曲線是革命性的工具！
橢圓曲線能用來證明費馬大定理，
橢圓曲線能用來素數判定，
橢圓曲線能用來分解大整數，
橢圓曲線能用來加密！
你覺得是不是很神奇？
9樓：TravorLZH
這個在一定領域內可以被算作革命性的工具：
一般意義上，RS積分被定義為：
其中如果g在積分區間內有連續導數則 ，另一方面我們也可以對RS積分使用分部積分法： 。現在我們就來看幾個應用吧：
眾所周知素數計數 被定義為 ，利用RS積分我們可以將其轉換成：
在此基礎上定義 則有：
事實上前人已證明 所以有 ，即素數定理。
10樓：charlie
革命性的工具和進展多了去了，事實上數學在微積分之後才迎來了大發展，誕生的革命性理論/工具相較於過去2023年也不遑多讓，我就想到哪寫到哪了。
首先是微積分理論（學名：分析理論）的完備補全。牛頓，萊布尼茨時代的微積分是有很多缺陷的，比如說無窮小量的概念定義不清等，這一問題遭到了貝克萊等人的攻擊，從而引發了第二次數學危機。
在這之後，魏爾斯特拉斯，達朗貝爾等一大波猛人前仆後繼，最後才建立了完整清晰的極限理論與微積分理論[1]。
當然這個只是補全，屬於填坑擦屁股型工作，所以就權當開胃小菜。現在坐穩了，我們要加速了。
在微積分的基礎上，分析學發展出了實分析理論。
實分析研究的是實變函式（從實空間到實空間的函式，是的微積分裡面的幾乎所有函式都是實變函式）的理論，主要包括實數空間上的點集拓撲，集合的測度與積分理論（代表產出：勒貝格積分）[2]。實分析理論的發展則順便帶出了乙個副產物——測度論。
而測度論則在一段時間之後成為了現代概率論的基礎。實分析的發展可以讓我們有手段處理各種怪物函式（比如狄利克雷函式，在有理點取1，無理數點取0），而且還讓積分更好算了——微積分中的乙個老大難問題就是各種改換次序的問題，例如積分運算和極限運算交換順序，積分運算和求和符號運算次序的問題（是的，這些運算不能就這麼簡單地交換順序，雖然我有物理系的同學告訴我他們不怎麼care這些，笑），在傳統的數學分析理論中，這玩意兒需要大量佶屈聱牙，極其醜陋的條件，但到了實分析，或者具體來說，勒貝格積分的框架下，積分運算的各種交換順序問題就變得非常簡單舒服，我們分析各種怪物函式也變得相對方便。同時，實分析理論的發展還進一步帶出了另乙個巨坑——泛函分析。
有了實分析之後自然發展出來了所謂的泛函分析理論。當然泛函分析也被人戲稱為是無窮維空間上的線性代數，不過這門學科感覺分析的味道還是很重的。
泛函分析從直覺上來看的想法是將某一類函式看作無窮維空間上的點，那麼這些函式可以構成乙個無窮維向量空間。於是我們可以通過研究無窮維空間的性質（例如正交基，無窮維空間中向量的正交分解，內積，開閉集和收斂性），從而得到某一族函式的性質。例如著名的傅利葉展開，站在泛函分析的觀點下看，其實就是乙個向量在無窮維空間中按照某乙個正交基進行分解展開[3]。
泛函分析理論可以被用於研究大量的物理方程（諸如熱傳導方程此類），還被應用於現代非引數統計理論。
除此之外還有復分析理論。復分析理論簡單來說就是建立複數到複數的對映的分析學（可以理解為微積分理論）。可導函式被延拓到複數上的所謂解析函式之後出現了大量美妙神奇的性質，其神奇誠度不亞於你給自己的電腦裝了個新的GPU，結果發現它現在還能被用來當作洗碗機一樣。
例如，在實數微積分的框架下，我們知道乙個函式可導不意味著它任意階可導。然而，在復變函式理論中，乙個解析函式（可以理解為在複數上可導的函式）如果可導，那麼它任意次可導。當然除此以外還有大量非常神奇的結論，比如說有界解析函式必定為常值函式，某些函式的圍道積分必然為0，n階多項式的所有零點一定落在複數域內等等等等[4]。
復分析理論的物理應用自然非常廣闊，通訊電力領域中復分析的應用海了去了
然後就是著名的微分方程理論，這玩意兒有著極其鮮明的物理背景，甚至很多學校本科的偏微分方程課用的教材直接就叫《數學物理方程》。偏微分方程方法在物理學中的應用就不必多說了吧。。。解各種熱傳導方程，算變分法等等等等。
分析學到了19，20世紀還發展出了調和分析理論，這門理論一開始研究的是函式的傅利葉展開，但是到後來據說已經拓展到了各種奇奇怪怪的抽象集合上，到如今已經成為了現代分析學最大的主流方向之一。這門理論我的理解有限，就不亂說了。
在古典的解高次方程基礎上，代數學發展出了線性代數理論。
是的，題主問的是自微積分以後革命性的數學成果，線性代數顯然是微積分之後的革命性的數學成果對不對（滑稽。線性代數主要研究有限維線性空間上的線性變換理論，用人話說就是矩陣。以線性代數為基礎，人們還發展出了多重線性代數和張量理論[5]。
線性代數和張量在物理上的應用。。。不對，應該問哪門理工科不應用線性代數
當然，線性代數顯然不過癮，在微積分被發明出來之後的大約200年後，乙個叫伽羅瓦的天才（在死前）發明出了群論，這門理論拓展出了乙個深坑，被稱為抽象代數。
抽象代數完美符合題主想要的「革命性工具」這一需求，這門理論基本宣告了近現代代數學的誕生，革新了數學界的思想，廣泛應用於物理學，在數學系則與泛函分析並列，被許多人認為是質變級別的課程。抽象代數的方法，簡單理解就是，用結構的思想來看數學。許多數學物件往往具有潛在的相同的結構，那麼我們可以從中抽象出這種潛藏在深處的結構，然後直接對這個結構本身進行研究，然後用這個結構的性質反推出我們感興趣的具體物件的性質。
例如伽羅瓦就定義了群這一概念，然後敏銳意識到了高次方程的解的性質可以被群論描述，因此我們可以通過群的性質反推出方程解的性質。群論的威力相當之強悍，伽羅瓦用群論的語言一口氣解決了幾個困擾人類幾千年的數學難題：五次方程的求根公式（被證明不存在，換句話說構造這樣的求根公式是不可能的，如果你構造出來了，說明你構造錯了），尺規作圖三等分任意角的演算法（被證明不存在），尺規作圖倍立方體的演算法（被證明不存在）。
抽象代數理論被廣泛應用於現代數學和物理。量子物理學裡面我記得有抽象代數的應用，楊-公尺爾斯理論好像也是用群論描述的。
到了19世紀末，代數學又醞釀出了乙個被稱為代數幾何的領域。代數幾何領域起源於對代數方程零點的研究，後來在20世紀中葉，一代神人亞歷山卓·格羅滕迪克的引導下成為了一門全新的，極其抽象而又內容豐富的學科（然後他就急流勇退，40歲出頭歸隱山林），至今依然是數學界研究的最前沿，最火熱，最吸引年輕人的學科之一。代數幾何在弦理論中據說有著廣泛的應用，就是威騰那一大票人在搞的東西。
我在這方面水平有限，就不亂說貽笑大方了。
除此之外，現代代數學的發展與各個數學內部學科的交流融匯又催生了一大批新的方向。例如代數拓撲，代數數論，算術幾何等等等等，它們中的一部分同樣與物理有著不小的淵緣，就不班門弄斧貽笑大方了。
當然還有的話就是範疇論，這玩意兒也可以算作是現代數學的突破性成果之一。。。？特點是不說人話，直達各種數學結構底層（所謂的「Category」），被一些人吐槽為Abstract Nonsense（抽象的廢話），據說十幾頁/幾十頁之後才有第乙個具有實質性內容的定理[7]，反正我看了沒幾頁就跑路了（逃。不過這門學科是代數幾何的基礎，是代數幾何研究者不能忽視的重要科目（朋友所言）。
在幾何學上，具有革命性的成果也不少。比如微分幾何和黎曼幾何就是很好的例子。
黎曼幾何理論（以及再之前的羅巴切夫斯基幾何）對歐幾里得幾何學第五公設的突破至今都是各種數學史文章津津樂道的公案之一。簡而言之，古典的微分幾何通過微積分研究各種曲線曲面（撓率，曲率，正則曲面等等等等），現代的微分幾何據說在研究一般的微分流形。黎曼幾何則一統傳統的歐式幾何，羅巴切夫斯基幾何和他本人的黎曼幾何（分別對應於曲率0，負和正的情況），引出了20世紀最驚天動地的物理理論之一——廣義相對論。
恐怕連黎曼本人都不會想到，他的研究居然被愛因斯坦用在了物理理論上。
幾何學的另乙個屹立至今的研究領域是拓撲學。拓撲學是一門畫風相當特立獨行的幾何學，堪稱幾何學中的奇行種。
在傳統的幾何學中，我們關心的是諸如角度，長度，面積，曲率，撓率這樣的具體的值。但這些性質在拓撲學裡統統不存在。拓撲學關注的是幾何圖形(學名：
拓撲空間）的一些抽象，晦澀，難以把握的性質，比如說這個圖形上面是不是有個洞，有幾個洞啊，一筆畫問題啊等等等等。嚴格來說，拓撲學關心的是拓撲空間（俗稱：幾何圖形)在同胚變換下保持不變的性質（可以近似理解為連續對映）[8]，所以面積，長度這些度量在拓撲學意義下直接失去了性質（而有一些性質則變得有意義，比如說有幾個洞）。
當然從直覺上來說，這玩意兒也太難以建模了，畢竟類似於洞這樣的概念難以捉摸，而各種幾何體又千變萬化。而這也是拓撲學理論的有趣之處：它真的找到了一套描述這些現象的語言。
比如說，在代數拓撲中，數學家用一種極其之匪夷所思的方式在曲面上建立了乙個群結構（曲面的第一類基本群），這種群結構可以被用於刻畫曲面的諸多性質（比如說，有沒有洞）。當然，拓撲學顯然不至於數洞洞，它在現代物理等諸多理工科的理論中扮演著重要角色，比如你可以參考 @文小剛 的回答。
進入20世紀，概率論的研究也取得了革命性的突破。
在此之前，概率論的研究一直不慍不火，究其原因，大約在於概率這玩意兒數學家一直沒有一套統一的框架描述，甚至早期拉普拉斯，棣莫弗等人對概率的描述還存在迴圈定義的隱患，這也導致這門學科內部各種悖論層出不窮，比如著名的貝特朗悖論（單位圓內任意拉一條弦，其長度小於 的概率是多少？三種不同的解法可以得到三個不同的概率）。這些問題導致概率論常年處於數學界的鄙視鏈底端，和統計是難兄難弟（笑[9]。
直到20世紀初，概率論終於由蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫完成了公理化，開啟了現代概率論（順便一提，這傢伙也是個神人，70歲了還敢打赤膊滑雪，據說還在學術會議上和人大打出手，堪稱最武德充沛的數學家，不愧是俄羅斯人）。柯爾莫哥洛夫用測度論的語言定義了概率論的總體框架，從而終於完全說清楚了概率。自此以後，廣大數學家才對概率論有了一套共同的語言，也才終於可以一起齊心協力地建造巴別塔。
當然，現代概率論更重要的意義在於，通過測度和可測函式概率的手段令一大批分析學方法也被引入了概率論中（例如控制收斂定理， 範數，微分方程理論）[10]，因此到了20世紀，概率論取得了大量成果，例如對各種隨機過程的研究，隨機積分的發展等等。概率論被應用於統計力學和金融數學。至於金融數學和概率論的聯絡，大約是各個量化投資公司吸收了大量畢業的數學/物理/統計/CS PhD 吧（逃
除了純數學的各支以外，自微積分以來，應用數學的諸多領域也取得了革命性突破。比如說曾經概率論的難兄難弟統計學。18世紀，高斯就通過最小二乘法擬合天體執行軌跡。
到了20世紀，在費舍，高爾頓，Rao等著名統計學家的推動下，現代的估計，檢驗方法和回歸等模型相繼被確立。同時，由於眾多經典模型往往僅僅適用於正態分佈資料，對於其它型別的複雜資料無以為力，統計學家建立了所謂的非引數統計學。非引數統計方法只需要資料符合非常弱的假設（例如對稱，矩存在，甚至是可測）就可以應用，從而避免了諸多傳統方法只適用於正態資料的問題。
在20世紀下半葉，隨著計算機算力的提公升，機器學習/統計學習這一領域應運而生並被廣泛應用於諸多自然科學，社會科學問題中的資料分析[11]。到了現代則又有了類似於高維統計，計算統計學，代數統計等新方向。
至於統計在物理學中的應用嘛。。。經驗科學哪有不分析資料的（逃
除此以外，還有諸多純數學/應用數學的革命性工具/方向沒有在這篇文章中列出，比如圖論，組合數學，（解析/代數）數論，計算數學，理論電腦科學，運籌優化，控制論等等等等
所以可能和題主的直觀感受相反，在近現代數學產生了空前的發展，各種革命性成果層出不窮，微積分可以說只是乙個序幕，之後的那一堆你要在本科高年級/研究生遇到的那一堆牛鬼蛇神才是真正的正菜。
[1] 鄧東皋，尹小玲，《數學分析簡明教程（第二版）》，高等教育出版社
[2] 黎永錦，《實變函式講義》，四季出版社
[3] John B. Conway, A Course in Functional Analysis(Second Edition), Springer
[4] 龔公升，《簡明復分析》，因為書不見了所以忘了是哪個出版社
[5] 藍以中，《高等代數簡明教程》，北京大學出版社
[6] J. Hoffstein, J. Pipher, J.
H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography(Second Edition), Springer
[7] Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Springer
[8] 尤承業，《基礎拓撲學講義》，北京大學出版社
[9] 李賢平，《概率論基礎（第三版）》，高等教育出版社
[10] Rick Durret, Probability: Theory and Examples (Fourth Edition), Campridge University Press
[11] Trevor Hastie, Rober Tibshirani, Jerome Friedman, The Elements of Statistical Learning (Second Edition), Springer
現代數學只有靠天才才能發展嗎？
詩人白言 僅用數學的邏輯去回答 答案肯定是否定的。確實，現在的數學體系非常龐雜，知識量也非常巨大。但這些只能阻礙普通人的學識，卻無法阻礙他們的思維。發展除了解決問題外，為問題的解決提供可以借鑑的思路也是一種貢獻。比如大家都熟悉的冰雹猜想，我就發現了其可能滿足的變化路徑 考拉茲猜想的變化路徑 該路徑，...
如果現代數學使用羅馬數字會如何？
零呢？負數呢？1到9裡面，只有1 5是一位的，2 4 6 9是兩位，3，7是三位，8是4位，這樣必然辨認難度增加，還必須加上分隔符呵呵，這樣更長 不管多大多小的數都是由I V X L C D M組合而來，也就是說單純地讀乙個數都要做加減運算。 趙金昊 更新 看了一下其它的回答，感覺大家對羅馬數字誤解...
現代數學已經發展到瓶頸期了嗎？
基本上是，18世紀19世紀，歐洲數學界群星璀璨，拉格朗日，尤拉,傅利葉，熱爾曼，萊布尼茨，龐加萊，黎曼等，數學力學兼通的通才。到了20世紀，數學進入歧途，群論和泛函純數學成方向。再也沒有重大突破，未來力學研究有重大突破，數學才有重大突破。 現代數學不是已經發展到瓶頸期，而是已經度過了瓶頸期。對於現代...