1樓：柳柳
我讀書不認真所以懂得不多，不過這個問題可以說下自己的理解。
感覺題主有這樣的誤解：數學的各個分支之間難度不同、而且各要各的天賦/有些需要特殊的天賦。
我想說，題主的感覺應該是錯的。上學的時候我沒有這種感覺。
數學教育是罕見的少有的高度系統化、機械化的學科，各個數學分支的教學過程基本上都完全一樣，我們做學生的時候，理解各科不同的數學是乙個機械的、沒有難度的過程，唯一需要的只是時間。
簡單地說，就是：學數學人人都一樣。
2樓：Fancyauthority
(多)復幾何,代數幾何,專門的模空間的幾何,拓撲理論幾何拓撲,低維流形拓撲,微分幾何大類(Finsler幾何，Riemann幾何)
各類數論,量子化數學空間模型
同調代數,K代數,代數拓撲
復動力系統，運算元代數，泛函分析
（不等式，方程）分析類,射影幾何
集合論基礎，符號計算
應用數學，（概率論），測度論
3樓：
其實我覺得都差不多，沒必要爭個高下，要難都可以很難，不然這個學科早就已經被做完了，然後這個學科就會轉變成大家研究用的基本工具（而不是乙個研究方向）流傳下去。
我覺得理解上還是要看到big picture跟這個picture所導致出來的思路，如果理解了這個picture，一般出來的思路是很直覺很直接的，都是不然還能怎麼辦的地步。但是每個學科的景象都不一樣，有春夏也有秋冬，有日常的展開也有斬八岐大蛇一樣的故事，不一而足。
但是我覺得理解各個方向的big picture的難度其實都跟個人適應哪個有關，沒必要硬分個高下的，畢竟不是打競技場，總是要鬥個你死我活。
4樓：
我是搞代數拓撲的，感覺代拓在同學眼裡還是比較高大上的，這些年在和同學交流的時候也覺得享受到了一點點在鄙視鏈上游的紅利。具體體現為，常被問同調代數、範疇論這些分支裡亂七八糟的防呆問題（此處應at @zero），遇到topos、stack、higher cat（此處均可加「∞-」字首）時會首先被想起，聽完解釋後一般是不明覺厲的反應（也許主要是因為我解釋不清楚）。總之，代拓應該能算上理解難度高的了吧？
然而對我來說，代拓以外的數學的理解難度反而是∞。我的意思是，再抽象艱深晦澀的代拓概念背後，其實都有不能更自然的動機。看完每個構造都感覺「不然還能怎麼做」(what else can we do)，看完每個定理都感覺「不然事情還會怎麼樣」(how else can it be)。
而這種感覺我在學其它學科的時候抓不到，哪怕是抽象化程度與代拓相仿的學科——代數幾何、表示論，等等等等。所以那些構造在我看來都是奇思妙想，都是奇技淫巧，都是天才們天馬行空妙手而得。
所以你看，說到底還是隔行如隔山，還是術業有專攻。只是希望有朝一日我能夠說，這一切不過是聞道有先後而已。
5樓：
作為乙個普通人，我表示我學過最難的數學知識還是群論。
至於實變函式和泛函分析.......看不懂的東西，也就談不上學過了。
而代數幾何、微分流形之類的，只是偶爾聽聞，不知道它們是啥。
也就是說，實變函式和泛函分析已經是我認知範圍內的上限了。比它更難的東西在我眼中看來都是一樣的：反正都是看不懂，有啥區別？
6樓：Pippy
我看看吶。。。
我覺得最難理解的應該是最基礎的：集合論(set theory)、模型論(model theory)、範疇論(category theory)、泛代數(universal algebra)還有證明論(proof theory)。這幾可以說是最抽象的，畢竟最接近底層就越脫離常識，也和哲學越像。
一般人連 ZFC 的 C 都用不上，哪能理解模型論學家搞個不可達基數(inaccessible cardinals)是要幹什麼？
以上是16年10月21號發布的，由於我的生活過於充實以至於之後的兩年多都沒怎麼上知乎。現2023年5月28號繼續開始更新。
其次我覺得應該是代數學。代數本質上是抽象的，並且一般無法在現實中舉出乙個實質性的例子（比如幾何學一般可以舉嵌在 裡的例子，分析學裡很多函式也是可視或區域性可視的），以至於不從公理和定義開始看的小朋友基本沒有理解的基礎。一般來講，必須要從群(group)、環(ring)、域(field)乙個個開始理解。
隨著結構的增加，我們有模(module)、線性空間(linear space)、張量代數(tensor algebra)、外代數(exterior algebra)、李代數(Lie aglebra)、合衝模(syzygy module)等等等等的代數結構，對於乙個甚至沒接觸過群論的小朋友，後面這些是基本沒有對他們解釋的基礎的。
從上面一段我們已經看出，乙個難理解的學科的(乙個)特性在於，對於乙個沒有基礎的小朋友，我們缺乏向他解釋後面概念的方式。什麼是好理解的呢？比如乙個不知道流型(manifold)和向量從(vector bundle)定義的小朋友甚至有能力直接計算一些流型的曲率(curvature)，並且我知道很多學物理的小朋友都是這樣的。
那麼再仔細想一想，能這麼做有兩個原因：1、這些數學結構是嵌在 裡的，並且 2、這些數學結構是可視可想象的；甚至我覺得，上面這兩個原因是同乙個原因。很幸運，這之後要講的數學分支裡都有很大一部分是可視的。
7樓：況聞天
本人做基礎數學，方向是非線性分析。
基礎數學大的方向分代數，分析，幾何。
在我看來，數學的問題是有著深刻的本質的，而代數，分析和幾何，之所以不相同，主要是因為他們研究的手段和工具的不同造成的。但實際上不同專業的不同定理，有可能只是同一種數學現象的體現，只是在不同的語言下面不同的體現而已。
代數比較抽象，幾何比較直觀，分析比較精細。
我認為數學是真的需要智商的一門學問，同乙個東西，不同人的理解深度是不一樣的，智商高的人會有比較深刻的理解，而你理解的好才能運用好。我這種弱雞看到乙個定理，我只能看出來證明沒有錯，然而還是一臉懵逼，對於其反映的數學的內在本質確是一無所知。
代數幾何之所以難是因為，你要掌握它的研究工具都是需要花費相當大的功夫和智商；而組合數學可能在普通人看來比較容易入門。但實際上真正需要你去解決的問題都是非常難的，所以不要覺得代數幾何就比組合數學要高階，這種比法本來就不對。
我的建議是：作為普通人來說，只需要按興趣了解一些有意思的數學結果就夠了；就像普通人只需要享受科學進步帶給人們的便利就夠了。
8樓：血腥男爵護舒寶
作為乙個工科畢業生，曾經在學習概率與統計的時候，去隔壁數學學院的學長那裡借了考研的材料想要深研一下。
兩天就放棄了。
首先中國本科生才多少，
我學校各科數學及格率不足80，
而且書本上的知識，都是一兩個世紀之前的東西。
對於平常畏懼搖籃的護欄的數學嬰兒，
五岳哪個更好爬？
9樓：klam
首先，題主所說的理解是什麼意思。
如果說僅僅是看到乙個名詞，然後望文生義的去猜的話，實際上是完全談不上理解的。
就比如曾經有某個外院的妹子問我學什麼的，我說數學，然後她又問我具體幹什麼的。我blabla了半天流形，曲率形式，anosov流，譜，就看到人家眼神越來越迷茫。於是我嘆了口氣，說，就是解方程的。
妹子如釋重負，然後問了一句：那你一天能解幾個方程？
那麼如果說要真正的理解呢？很抱歉地說，對於普通人，這不現實。
題主所謂的現代數學的各個分支，要真正接觸到最起碼都要研究生以上了，即便國內好一些的大學也要在大三大四才會開設一些相關的基礎課程。
也就是說，即使是數學專業的學生，想要接觸到現代數學的各個分支，也需要好幾年的全日制的基礎知識的學習和基本思維方式的訓練才行。這個過程相當於是乙個認字和學會怎樣正確的思考的過程。否則，就像你扔給乙個一年級小孩一本紅樓夢，讓他談談對裡面每個人物的理解一樣。
對於大眾來說，沒有這樣的時間和環境，而且說真的，大多數人的思維習慣也不適合學習數學。
但是這僅僅是對現代數學來講，實際上每個人對數學這東西都會有自己的理解，哪怕理解僅僅是這東西巨難，我學不會也算。
關於這個正如 @Yuhang Liu 所說：其實不能說「理解難度高低」，只能說不同分支的學習方式、思維方式是不一樣的，給人的感覺也是不一樣的。
我有乙個更形象的說法：整個的數學世界就彷彿一顆地球，你所掌握的知識決定了你所站的位置座標，然後你所學習的深度決定了你站的的高度，你目力所及的範圍，就是你所能夠理解的數學。
比如像我來說，非線性方程，辛幾何和某些動力系統相關的東西是我所了解的知識。所以我能大概的理解與這些相關東西數學是在做什麼的，雖然由於理解的深度有限，只能算是知道一些皮毛。但是由於我對代數的感覺實在是太差了，所以代數幾何對我就完全是天書一樣的東西。
至於說普通人，差不多最多就學過大學裡的線性代數，微積分，概率論那些的吧，而且很大程度上還侷限於做題考試。以這樣的出發點和理解深度，理解現代數學的各個分支。我們還是談談明天吃什麼吧？
10樓：
別的有多難不知道，但代數幾何絕對是個人遇到的最難的！
跟概型打交道的人，有非常沉重的技術負擔：層（這是什麼鬼？覆疊對映的推廣纖維叢、纖維叢的代數變形抽象成層）、範疇論、上同調（同調的代數對偶，什麼是對偶、共軛呀？
就是滿足某種規律的配對，數學中有許多這樣的）、譜（這又是什麼？環的素理想集合構成的乙個扎里斯基拓撲空間），還有其它的（只是個人尚不知道）。不對交換代數非常熟悉的話，難以支撐直觀！
概型是什麼鬼？區域性看上去像某個仿射概形的結構，仿射概形又是什麼鬼？乙個區域性環層空間，同構於某個環的譜。
區域性環又是什麼呢？只有乙個極大理想的環，那麼區域性環層空間呢？將群層的定義中的群替換為區域性環，那到底什麼是概型呢？
Sorry，我也不知道該怎麼說呢？唯一知道的是這太抽象了！！！
應該交給代數幾何學家來解釋！
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詩人白言 僅用數學的邏輯去回答 答案肯定是否定的。確實，現在的數學體系非常龐雜，知識量也非常巨大。但這些只能阻礙普通人的學識，卻無法阻礙他們的思維。發展除了解決問題外，為問題的解決提供可以借鑑的思路也是一種貢獻。比如大家都熟悉的冰雹猜想，我就發現了其可能滿足的變化路徑 考拉茲猜想的變化路徑 該路徑，...
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零呢？負數呢？1到9裡面，只有1 5是一位的，2 4 6 9是兩位，3，7是三位，8是4位，這樣必然辨認難度增加，還必須加上分隔符呵呵，這樣更長 不管多大多小的數都是由I V X L C D M組合而來，也就是說單純地讀乙個數都要做加減運算。 趙金昊 更新 看了一下其它的回答，感覺大家對羅馬數字誤解...
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