1樓：
拓撲是一種現代數學的基本語言，數學裡有千千萬萬種結構離不開拓撲。比如分析學裡的泛函分析，它裡面的三種常見空間:度量空間，賦範空間，Hilbert空間都是拓撲空間，這裡有了拓撲我們才方便研究序列的收斂性，研究運算元的一些性質諸如緊，閉等等。
另外拓撲還廣泛出現在較初等的分析學中，如數分中的開集，閉集，緊集，實變中的Borel集，疏朗集，復變中的孤立點，單連通區域，環繞數，擴充復平面，Jordan曲線，還有單位分解，等等都來自拓撲學。
更不用說在幾何上的應用了，微分幾何中的流形本身就是乙個拓撲空間，代數幾何中的簇，概形都是拓撲空間(其上再加上別的結構)，拓撲在幾何學裡面就像實數集之於微積分，是必不可少的語言。
為什麼拓撲如此重要，如此常用，因為它可以"數學地"刻畫很多東西，如果乙個集合小且簡單，那麼它就可以用緊來刻畫，如果乙個集合不能被拆成兩塊，那麼它就具有連通性，如果乙個點列接近某定點那麼這個點列大多數點都落在定點的某鄰域內，如果乙個集合的點列都有收斂子列那麼它就具有閉的性質，如果乙個函式自變數變化的不大因變數也不會變化太大那麼就具有連續性，把乙個空間進行貼上操作則可以用商對映刻畫，曲面的洞則可以用虧格刻畫。當然拓撲並不僅僅是語言，它還能證明很多神奇的結論，比如代數基本定理，Brouwer不動點定理，Jordan曲線定理等等，這些定理用拓撲學證明也很自然。由此帶來的便利，以及拓撲帶來新的工具和方法，是拓撲學在現代數學中重要的原因。
2樓：老兵還鄉
拓撲學一般只學乙個學期，題主學了好幾年，是不是有點。。。
好吧我們就按題主是個對數學科普有興趣的高中生來回答吧。
拓撲學通關後，就是代數拓撲與幾何拓撲，當然黎曼幾何理論上不需要拓撲學做前鋪，實際上現代數學求學者也一定是先拓撲後黎曼的。總之拓撲學是為現代幾何學鋪墊。
拓撲的意義在於開創了除代數結構與序結構以外的數學中的第三種結構，也就是拓撲結構。
以上這段話非常的沒有意義，因為懂的不用說，不懂得聽不懂，但它是布林巴基學派給拓撲學的定調，你可以理解為相當於政治課必考概念吧。。。先背(洗)著(腦)，長大慢慢就懂了。
在布林巴基學派的觀點下，三大結構，在邏輯意義上，代數結構發展出了代數學，這個分支只考慮等號關係。序結構發展出了分析學，這個分支就是瘋狂地用放縮技巧搞事情。拓撲結構發展出了幾何學，這個分支就是研究空間，彎曲與拓撲不變性的（好吧好難概括幾何到底在做什麼）。
以上代數分析幾何，構成了現代基礎數學的三個大分支。任何想搞事情的年輕人，都要在本科階段把三大分支的基礎課完全搞定，然後研究生去專心搞其中乙個分支，搞到博后差不多有成就了再把另兩個也都弄弄，終成一代宗師。
除了基礎數學，數學還包含了應用數學，不懂，不多說。
拓撲學裡的鄰域代表了什麼？
Munkres的書這樣寫 Mathematicians often use some special terminology here.They shorten the statement U is an open set containing x to the phrase U is a neig...
數學分析，實變函式，解析幾何，拓撲學，高等代數，近世代數，相對來說，哪個更好學？ ？
南柘 你說的更好學是簡單的意思嗎？我想你問這個了，可能是數學系的學生吧 備註 等級為五星算滿星 那我來講一下我的歷程與看法 1 數學分析相當重要，它可以說是滲透大半個大學數學，與概率論，常微分方程，實變函式等都有聯絡。如果只為了考試，你沒有天賦也能過，難度屬於至少三星吧 如果你要學得認真，仔仔細細，...
代數學在電腦科學中有什麼應用？
部分機器學習演算法要用到最優化，最優化本質是帶約束或者不帶約束的極值，裡面要用到導數。微分流形什麼的可用於提取高維空間中的低維規律，在機器學習裡面可用於降維。 太帥不顯示使用者名稱 目前是在密碼學 編碼理論方面廣泛應用。具體參考一些書籍。因為代數理論在拓撲學中占有重要地位，而拓撲學目前已經突破它自身...