1樓：
Munkres的書這樣寫：
Mathematicians often use some special terminology here.They shorten the statement"U is an open set containing x" to the phrase"U is a neighborhood of x".
2樓：
本人也是剛剛開始學習拓撲學，來強答一下。
在度量空間裡直觀得來說，就是題主說的那樣。
然而如果說讓你在 中的有理點構成的子空間中找乙個點的鄰域，這就不直觀了吧。再比如 在 中是0的鄰域,在 中就不是了.
我的理解就是鄰域代表的就是你可以在這個拓撲空間中找到乙個包含點 的開集，使它包含在集合 中,那麼 就是 的鄰域.為了方便,我們經常取開鄰域.
3樓：
Armstrong那本小冊子上面關於這個講得很好。
定義集合上拓撲結構的動機大概是為了談論它們之間的態射也即連續函式。
連續函式f的直觀感受，即是很近的點被對映到很近，換言之對f(p)的附近區域U，總有p的附近區域V使得f(V)在U中。
於是為了把連續函式推廣到更加廣泛的空間，有必要說明乙個集合上如何定義乙個點的「附近」。於是點p的附近的概念也即鄰域就產生了。
具體來說，乙個集合X上的拓撲結構是乙個函式t，對集合X中的每一點p給定了一族X的子集，稱作p的所有鄰域。
為了能像在傳統的R^n中做極限或者談論連續性，定義的鄰域要滿足一些性質，諸如p的兩個鄰域交還是p的鄰域，或者p在它的每個鄰域之中等等，這些性質如何在通常R^n的情形下起作用看看數分裡的一些命題怎麼證明的就好了。
這種拓撲空間的定義不夠簡潔，用鄰域定義拓撲後，可以進一步定義開集，集合A開=A是A包含的每個點的鄰域。然後這樣得到的開集族確實滿足現在普遍使用的拓撲空間定義裡開集族的那三個性質。
可以驗證用鄰域定義拓撲空間和用開集定義拓撲空間的確是等價的。
我感覺我跑偏了……回到最開始的問題，鄰域代表了什麼？
呃…鄰域給出了乙個集合上「附近」是什麼意思，也即乙個拓撲。
那拓撲有什麼意義？
呃…談論「連續性」合適的背景。
4樓：
先在乙個集合X上定義乙個拓撲，即規定某些集合為開集。
然後包含a的乙個X的子集A可以稱為a的乙個鄰域，如果A還包含乙個含a的開集。
5樓：BT之王
題主的思路當然對，但是我覺得開始學的時候最好不要把歐式空間作為例子，否則你會覺得點集拓撲裡所有的證明題都是顯然的而不知道如何下手。
我個人比較建議把點集拓撲想象成是用來處理集合與元素之間關係的。首先有乙個大的集合，裡面有一堆元素。然後把裡面的元素隨機組合就定義了X的子集。
然後選定其中一部分集合標記為「開集」，就想象成對點染色標記一樣的方法，把一部分集合單獨列出來，只是選擇的辦法有限制：滿足拓撲的三個公理。然後這個方法定義出開集以後，開集組成的集合就稱為乙個拓撲，通俗來講就是「爺爺輩的」，也就是集合的集合。
然後記住定義：開集是裡面元素的鄰域。
6樓：
直觀上就是：某種程度上跟那個點挨得充分近的都在那個集合裡。
如果你把那個圖形拉伸或者壓縮，只要別弄破別粘連，鄰域還是鄰域。
全空間一定是鄰域。
在離散空間中，單點集是鄰域，非離散空間中往往不如此。
乙個點的若干鄰域之並也是鄰域。
乙個點的兩個鄰域不一定有包含關係，但它們的交集往往是乙個更小的鄰域。
（注意：某些書要求鄰域必須是開集，某些書只要有開鄰域作為子集就可以。
初等的微積分課程中，往往把歐式空間的小球形才算作鄰域。
這導致一些結論的細微變化。）
7樓：夏夏
集X上的乙個拓撲T，就是X的滿足一定性質的子集族。T中的集合就是X的開集，或者說T規定了哪些集合是開集。
T的定義性質有三。X和空集是開集。任意個開集的並是開的。有限個開集的交是開的。
比如R上的標準拓撲也是微積分用的，最簡單的，可以理解為序拓撲。首先所有開區間(a，b)是開集，嚴格上它是拓撲基，這個不需要了解。那麼R的標準拓撲下，R的子集U是開集，當且僅當U可以表示為一些(任意個)開區間的並。
也當且僅當U中任何一點x，都可以找到乙個包含x的開區間(a,b)，(a,b)也包含於U。
如果R上的標準拓撲理解為度量拓撲，首先所有的型如(x-ε,x+ε)的區間都是開集，以此為基，R上的子集U是開集，當且僅當U可以表示為那種區間的任意個並。也當且僅當U中任何一點，都有乙個以它自己為中心的區間，這個區間也含於U。
所謂x的乙個領域U，就是指包含x的乙個開集U。
R上還有很多奇葩的拓撲，比如把所有R的子集都看成開集的離散拓撲，這時候只要是包含x的集合都是x的領域，比如。
我發現這個離散拓撲看起來更加有助於你理解領域，畢竟它最簡單粗暴。
題主可以舉一反三，R^2上的標準拓撲，有兩種生成方式。第一種，拓撲基，也就是先定義的開集，是所有矩形(內部)。第二種，拓撲基是所有圓(內部)。
無論哪種，生成的拓撲都是標準拓撲 。U是開集，當且僅當U可以表示為任意矩形的並，也當且僅當是任意圓的並。
第二種方式就是我們熟知的，x的圓領域的由來，它就是基的乙份子。
8樓：石逍遙
在拓撲裡面想太多直觀，你就輸了……開個玩笑，其實直觀的理解很重要。
言歸正傳。其實，鄰域的含義很不嚴格，你可以說如果乙個集合（元素）A與集合B中間夾了乙個開集C，即A是C的子集（元素），C是B的子集，那麼B就是A的鄰域。這裡的子集不一定要是真子集。
你把它想象成乙個三層巢狀的餡餅（原諒我找不到更好的比喻），外面那層叫鄰域，中間那層必須得是開的。
別再想太多圓盤和球了，那東西只有度量空間才有。
9樓：Heat Lion
在數學分析中
點的領域是指乙個集合，其包含有這個點的乙個球形(圓形)領域。
以上定義等價於：
乙個含有這個點的開集或含有這樣的開集的集合。
在拓撲中點的領域的定義與上述第二條相同：
乙個包含有這個點的開集，或者包含這樣的開集的集合。
用邏輯的語言表述為：
稱集合A為點x的領域，若：
存在開集U，使得x∈U且UA.
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