1樓：亭車
詳見鏈結
通俗易懂地解釋拓撲學(topology)
2樓：明哲
拓撲學是什麼？我們不妨先給拓撲學改個名字，將其改為形狀變化學。
那什麼是形狀？在我們生活中，有各種各樣的形狀和形態。
我再問乙個問題？你能否只靠調整外部邊緣，讓這些形狀互相轉換呢？也就是說，讓正方形變成三角形，讓三角形變成圓形，讓圓形變成心形……
只要琢磨一下，就會發現，這是可以的。它和我們小時候玩過的橡皮泥遊戲非常類似。
如圖，橡皮泥能捏成各種形狀。
拓撲學就是形狀（形態）變化學。
那麼我們進入下乙個問題，當我們把乙個正方形捏成乙個三角形之後，形狀變了，有哪些地方沒變呢？
想一想，好好想一想。
答案可能是這些——用的橡皮泥的總量沒變，橡皮泥的中間部分沒變，橡皮泥的顏色沒變……等等。
那麼，假如正方形是乙個客觀存在，三角形是乙個客觀存在，形狀的變換是一種獨特的變化方式，我們能不能用數學方式研究這種變化呢？
答案是可以。
假設三角形是乙個點的集合A，正方形是乙個點的集合B，從A到B的變換是乙個對映。
停下來想一想，它有點像什麼？兩組數，彼此有變化關係，對了，它像函式。
如果說A是自變數，B是因變數，那麼，對映就是它們的函式變化關係。
函式裡叫點，拓撲裡叫象
也就是說，在這個意義上，我們可以把函式和對映視為乙個東西。
那麼，說到這裡，作為形態變化學的拓撲學到底是什麼？已經有了答案。
拓撲學就是用函式方法來研究形態變化，並在這基礎上構建出一大坨為其服務的概念，如同胚、點集拓撲等等。
例如，在上文中，三角形和正方形就是同胚的。
同胚是什麼呢？
如果我們用日常語言表達，就是：在三角變成正方形的過程中，形狀變了，但總的點的書目沒變，很多東西都沒變。「同胚就是把物體連續延展和彎曲，使其成為乙個新的物體。」
但如果用同胚的拓撲學語言表達，它就是：
「兩個拓撲空間和之間的函式f:X→Y稱為同胚，如果它具有下列性質：
f是雙射（單射和滿射）；
f是連續的；
反函式f也是連續的（f是開對映）。」
單射和滿射都是一種對映關係，通俗理解的話，就是所有的點不多不少，變化之後，總有乙個對應的。
f和反函式是連續的，通俗地說，這個變化過程是一直持續的，沒有中間空出一塊兒。
在那個最經典的例子裡，咖啡杯和甜甜圈就是同胚的。
可見，咖啡杯和甜甜圈的點一一對應可見，咖啡杯和甜甜圈的變化是連續的
那這門學科為什麼命名為拓撲呢？因為是音譯，將topology譯為拓撲學，其本義是地形地貌學。這樣以來，就方便理解了。
綜上，拓撲學=地形地貌變化學=形態變化學=用對映（函式）的方法研究兩個形態之間變化後保持不變的性質的學科。
一切皆變，「變者，天下之公理也。」但變中總有不變，「江山易改，本性難移。」共勉！
3樓：陳澤光
約翰·凱萊曾經說過：拓撲學家是分不清咖啡杯和麵包圈的人。
A continous deformation(a type of homeomorphism) of a mug into a doughnut(torus) and back.
——General topology,J.L.kelley
這句話乍一看似乎很難理解，咖啡杯和麵包圈兩個看似毫無關聯的東西怎麼通過拓撲學聯絡起來的？這裡我們不妨賣個關子，先由拓撲學的另乙個名字——「橡皮幾何學」入手。
我們以「三角形全等」為例：
在歐氏幾何中
三角形全等意味著三條邊對應相等。即經過若干變換後，三角形三條邊的長度不變。
在仿射幾何中
三角形全等意味著三個角對應相等。即經過若干變換後，三角形三個角的角度不變。
有了上面兩個小栗子，相信已經可以對「幾何是研究在某種運動群下不變的性質。」這句話有一些初步的認識了。那麼拓撲學又是在什麼變換下進行研究？
又能夠發現其中怎樣「不變的性質」呢？
在這裡先給出第乙個問題的結論：「拓撲學研究同胚變換下不變的性質。」
在拓撲學中，兩個流形，如果可以通過彎曲、延展、剪下(只要最終完全沿著當初剪開的縫隙再重新貼上起來)等操作把其中乙個變為另乙個，則認為兩者是同胚的。
在這裡為了更加直觀地感受同胚變換，我們可以將其與揉捏橡皮泥加以模擬。
同胚變換與隨意欺負百變怪之間的距離只有兩條簡單的規則：
不允許剪下。
不允許粘合。
如果百變怪A、B能在遵守上述遊戲規則的前提下，通過連續變換相互轉化，我們便認為他們是同一隻百變怪。這也就是拓撲學家認為咖啡杯和麵包圈沒有差別，卻能清晰分辨直線和圓的原因。
4樓：
說說個人感悟：
拓撲學其實就是研究分析學搞出來的。
請回想你初次學習數學分析時接觸的是實直線連續統，在那裡花了不少精力研究。
因為那時函式的定義域是取自實直線的，為了確保分析的基礎，必須花精力研究實直線。
後來要對分析學進行推廣（請注意數學研究中必做的事情，對現有理論進行完善推廣），就提出如果函式的定義域不是實直線，比如複數，其他的空間，我們現有的理論還適用嗎？對於這個問題我們顯然沒有底氣說一定適用！因為函式的定義域是我們沒見過的，不熟悉的。
基於此，我們就得系統的對它們進行研究，但我們又不可能對每乙個都去研究，就抽象成乙個普遍適用的來進行研究，即公理化！所以你會見到後來學過的序關係，這個是為了給任意空間中的集合定義有界用的，引入拓撲空間是為了定義開閉集（以前實直線上開閉區間的推廣），有了這兩樣就可以推廣以前的有界閉區間為緊集，然後再對分析學的三大基本定理（極值、介值、一致連續）以緊集進行推廣論證，還有其他的各種推廣，這樣我們就逐步建立了另一種抽象的，觀點更高的分析。
5樓：zero
Zero談數學——聊聊拓撲（1） - DivisionByZero - 知乎專欄
雖然（2）遙遙無期……但是題主可以先看著
腐女究竟是一種什麼樣的心理？
我是女生，我上大學才發現有腐女這種生物，我也想不通，腐女到底是怎樣的一種存在，他們還熱衷於給別人傳播這種文化。大學裡面，腐女還挺多的。 端木章不姓端 瀉藥，順便邀我的人你出來，我請你喝咖啡。題主注沒注意過，大概小學的時候男生女生之間也有這樣的問題。男生跟女生有點小動作什麼的都會被別人起鬨。這並沒有任...
佛家所謂的「狂喜」究竟是一種什麼樣的狀態？
我來說說我自己感受到的狂喜吧 在我高考前幾天，放假在家的時候，和父母大吵了一架，原因我已經忘記了，當時我把自己關在房子，在床上用被子蒙著自己，父親拉開房門，把我從床上拽起來 自從學佛之後這是父親第一次發這麼大火 不知道為什麼，有那麼乙個瞬間，我感到一股電流從腳底一直公升騰到了五臟六腑，然後是前所未有...
直覺究竟是一種什麼東西？
刀疤匪 第六感！其實不是。而是綜合周圍的環境情況，事情發展的前後情況，人與人之間的情緒變化。影響。社會環境等等綜合產生對將要發生之事的預感。判斷。 心存 在讀榮格的 心理型別 時認真的理解了在描述人類性格型別時，或者說在心理學中關於 直覺 的內容。直覺是一種認知過程，只是因為這種對資訊的加工處理過程...