1樓：李安成
和拓撲中的基本群（fundamental group）有許多關係。
比如：由 Cartan-Hadamard定理： the universal cover of a complete m-dimensional Riemannian manifold X of non-positive sectional curvature is diffeomorphic to R^m, in particular its universal cover is contractible.
由此人們會關注於 aspherical space: A manifold M is aspherical if it』s path connected and its universal cover is contractible.
再由 Whitehead』s Theorem： If a map f : X → Y between connected CW complexes induces
isomorphisms f : πn(X) → πn(Y ) for all n, then f is a homotopy equivalence.
又比如， Milnor-Sˇvarc Lemma，保證了在一定條件下（ 群G acts properly
and coboundedly on the geodesic metric space）這個群的Cayley graph就與這個geodesic metric space「相似」 (quasi-isometric).
這類的問題，基本上是屬於幾何群論的範疇，上世紀Gromov把很多微分幾何方面的想法概念引入了群論，做出了許多相關工作。
交換代數和群論有什麼關係
雖然二者現在都是近代代數學的基本研究物件，但從歷史發展上來看聯絡並不是很大。大概寫一下這兩者在我腦中的發展歷史吧。本人記性不好，可能會有記錯的地方 群論的研究很早就開始了，至少可以追溯到Gauss。他在 算術研究 裡面發展出了同餘理論，可以看成是研究Abel 群 Z nZ，同時Gauss還在書後面研...
拓撲學裡的鄰域代表了什麼？
Munkres的書這樣寫 Mathematicians often use some special terminology here.They shorten the statement U is an open set containing x to the phrase U is a neig...
拓撲學中為什麼採用這樣的子空間拓撲的定？
wonderwind 那樣子空間的開集就會變少，甚至在極端情況下變得只剩下Y本身了。比如說在R 3 給予通常意義下的拓撲構成拓撲空間 當中，R 2是它的乙個子集，但不是開集。考慮R 2作為子空間並給予R 3的誘導拓撲。如果按照教材中的定義，那麼R 2的誘導拓撲洽為R 2在通常意義下的拓撲，恰到好處。...