1樓：xinggu
代數拓撲是理解上同調和（抽象）同倫論的方便法門。
數學中經常有這樣的情況，一大類問題中，關鍵資訊最先在技術細節比較少的情形中被觀察到。例如 Weil 從代數拓撲中的 Lefschetz fixed point theorem 中得到啟示，推測出代數幾何背景下的某種上同調理論 (即後來的 Etale cohomology)的存在性，並給出 Weil conjecture 的證明思路。 [1]
泛泛地講，上同調是乙個從某種「幾何體範疇」的同倫範疇到分次環/代數的反變函子。代數拓撲研究的「幾何體範疇」是（加上某些弱限制條件的）拓撲空間的範疇。這種範疇的好處是，可以通過「拼接」，「捏合」原有物件得到新的物件。
用範疇論的話來說，我們可以選取乙個 complete and cocomplete 的拓撲空間的範疇。這樣就可以藉由比較少的技術準備來獲得相當完備的同倫論和上同調理論，以及很多可以顯式計算的例子。
例如，在（較好的）拓撲空間的範疇中可以構造 homotopy fiber sequences 和 Eilenberg-Mac Lane objects， 從而得到Postnikov towers, 進而得到非常實用的 obstruction theory. 還可以對拓撲群 G 構造 classifying space BG, 從而得到非常「工整」的示性類理論。
而在代數幾何中，一般不能在 schemes 的範疇中構造代數群 G 的分類空間。實際上，即使說清楚 BG 所在的範疇 （例如某些 stacks 的範疇）也要費相當的功夫。更不用說進一步的計算了。
再比如，Grothendieck-Riemann-Roch 定理涉及到 K-理論和 Chow rings, 而後者是比較難懂的。但是，Grothendieck-Riemann-Roch 定理關鍵的想法只需要用到 Chow rings 的 Chern character 以及 push-forward map, 而這兩者在singular cohomology 中也成立，所以，在學習Grothendieck-Riemann-Roch 定理時，不妨先用 singular cohomology 替換 Chow rings。
以上兩個例子或多或少地可以從 motivic cohomology / motivic homotopy theory 的角度理解。事實上， motivic cohomology / motivic homotopy theory 有著與 singular cohomology / 代數拓撲極為相似的一面。不熟悉代數拓撲的人學習 motivic cohomology 應該是很困難的。
請問分析和幾何，代數有什麼區別與聯絡？
hindsights 我看到過一種說法是，分析研究的是無限次運算，代數研究的是有限次運算。更具體的說，分析研究的是變化，使用的工具是極限，通常用逼近的方式從已知的概念去推導或定義新的概念。例如，用有理數的序列去逼近得到無理數，並定義無理數的四則運算和冪運算以及指數運算。再如使用泰勒級數做區域性逼近和...
歐洲有哪些比較好的幾何與拓撲方向的研究生專案？
Yuhang Liu 如果你不是很在乎學校名氣的話，Munster不錯，我們領域的大佬Burkhard Wilking在那 說起來Wilking幾年前拿了一大筆經費，本來每年可以穩定地招博士後的，但是去年我申博後的時候那筆錢用完了。然後波昂自不必說。馬普所在萊比錫也有個數學所，但我不知道那邊招不招研...
概率論或測度論與拓撲學有什麼交叉的研究方向嗎？
有人說了關於TDA和隨機單形的方向，下面是一些補充。大多數人說TDA topological data analysis 的時候說的都是persistent homology的資料分析。大意是一種在空間中的大資料點集中找尋幾何性質的方法。用的是同調論和同倫的工具，所以找尋的 幾何性質 是betti數...