1樓：
有人說了關於TDA和隨機單形的方向，下面是一些補充。
大多數人說TDA(topological data analysis)的時候說的都是persistent homology的資料分析。大意是一種在空間中的大資料點集中找尋幾何性質的方法。用的是同調論和同倫的工具，所以找尋的「幾何性質」是betti數，很多情況指的是不同維度的「洞」。
乙個同調論的範疇裡面complex是需要被定義的，當這個complex是作為隨機變數出現的時候，就可以考慮它的隨機betti數。可以考慮這個random variable的betti數的大數法則，中心極限定理之類的性質，就可以分析最開始的這個分布的「幾何性質」，也可以做一些machine learning的事情。
本來想多寫點，可是太多的解釋寫起來也真麻煩。
這種交叉還是很有意思的，給了TDA理論很多新的啟發。
2樓：小平
Random simplicial complices. 只是系裡有教授從事這個方向，具體本人也不太了解。大概想法就是對於simplicial complex這種組合物件下手，引入隨機性，考察拓撲性質的分布。
想要回答的問題就是在所有流形中，「大多數」流形長得怎麼樣？ Ohio state Univ有一位年輕教授就是這個方向。
這個都不只算是研究方向，應該是基本的工具和思路。只要state space上有合適的度量，就能用G.H.
Convergence 考察scaling下的limiting shape。因為本質上都是universality的問題，所以這個方向下有超級多open problem。譬如，first passage percolation中metric ball的shape, random homomorphism的shape (conjectured to be Gaussian Free Field) 等等。
3樓：WWK
Topological Data Analysis? （不要問我細節，我也不懂...）
4樓：何思奇
我覺得最可能相關的是做moduli space或者流形上的dynamic system和概率論，測度論的關係。比如說Dynamic system的Entropy theory可能就與概率論有直接的關係。
測度論作為乙個數學的基本語言，出現在任何地方都是有可能的，比如3-manifold的measure foliation。從廣的來講，怎麼數數也是乙個測度的問題，那任何數數的過程也可以認為是跟測度論有關。。
5樓：
看到測度和拓撲我的大腦就直接生成了tangent measure, rectifiability...
不知道Lindenstrauss他們的stiffness of measure算不算...
還有一群Kakeya type problems。就是給一組歐式空間內的有某種有幾何指標的代數簇構成的集合，然後研究集合的Borel測度性質，比如n維空間裡面包含了任意方向線段的集合，包含任意半徑的球面的集合，包含任意邊長的正方體的表面的集合，包含球心在任何位置的球面...
當然有乙個經典的問題就是一類perculation集合的連通性問題...
還有一類問題乾脆就叫quantum geometry了，詳細請看scott sheffield的頁面吧，我的關於QG知識儲備也就是知道乙個人名而已...
6樓：Yuhang Liu
最近很多這種問題，都是在問什麼方向跟什麼方向有沒有交叉研究。這種問題實在不好答，因為這些方向的含義都太泛了。。就比如測度論和拓撲，這本身就是有密切聯絡的；在基礎知識學習階段，你就不可能拿一把刀把拓撲和測度乾乾淨淨地切成兩半。
比如區域性緊拓撲群上有Haar測度，不好意思我又把群論扯進來了，但沒辦法啊，這些都是測度論的基礎知識啊，幾十年前Borel寫測度論教材的時候就把Haar測度包括進去了啊。。
至於說研究前沿，我覺得現在沒有人會說自己是專門研究測度論的吧。這更像是乙個基礎工具箱，而不是乙個學科方向。拓撲和概率論的研究前沿自然風格迥異，但也會有交叉；做概率論的人對於點集拓撲的基礎知識應該都是知道的，因為這些東西太基礎了。。
至於真正在前沿方向上交叉的，我知道有做概率幾何的，會用到抽象代數幾何和概率論，但是他們具體研究什麼樣的問題其實我也不是特別清楚。
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對於大部分函式這兩者是等價的，事實上還真的很多人用期望為起點 比如我老師就喜歡 我認為其原因主要有幾點 1 前者在概率論發展上有先發優勢 2 前者覆蓋面更廣 3 在教學上和進度結合更緊密 4 從研究的角度，前者確實是將概率問題變成了一般問題，不需要context 驀風星吟 因為以期望為開始治標不治本...
行政管理專業學概率論與數理統計的意義？
我從科研角度說說。現在大學不是主要以職業培訓為目標。起碼985.211的主要目標是科研，培養體系裡也要有點科研基礎，不能你們老師搞著搞著科研，後繼無人了吧？可以錄取愛科研的學生然後教他們，但是沒這幾門數學課，不培養這方面基礎怎麼知道誰是愛科研的學生呢？怎麼選拔呢？至於你說的大部分學生不搞科研不是學了...
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三妹兒 第乙個階段就是過課本，把高數現代概率論的課本都過一遍，如果說自己是一直學習著走的，建議以自學為主，網課為輔去學習。如果說自己基礎確實達不到這種，那麼就看網課，但是在老師講到例題的時候建議自己先做一遍再去看老師如何做的，思路是怎樣的。第二階段就是過完課本把全書過一遍，因為全書上面知識點都有，可...