1樓：
對於大部分函式這兩者是等價的，事實上還真的很多人用期望為起點（比如我老師就喜歡）
我認為其原因主要有幾點：
1、前者在概率論發展上有先發優勢
2、前者覆蓋面更廣
3、在教學上和進度結合更緊密
4、從研究的角度，前者確實是將概率問題變成了一般問題，不需要context
2樓：驀風星吟
因為以期望為開始治標不治本啊，後面一旦涉及「本」的問題就又需要引入新的內容啦！
首先，什麼是期望？嚴格意義上需要先定義積分吧，可是積分怎麼樣定義才「完善」呢？勒貝格積分正是希望解釋一些黎曼積分想要解釋的東西吧，那麼要定義期望裡面的積分自然會涉及到測度啦！
當然，按照題主說的，自然可以公理化這一塊，直接用所謂的運算元去定義，這本身問題不會太大，可是後面呢？
比如一些隨機變數服從的分布的期望不存在呢？當然期望不存在並不能說明不能使用期望這個運算元，但是這個運算元該是無界的了吧，然後呢？後續分析不是還是要回到測度麼？
又比如這個運算元對於連續與離散有什麼分別呢？沒有測度這個似乎也很難清楚表達吧，不能一股腦兒簡單的堆砌成為公理吧？
再說，概率論，核心是概率吧，概率本身其實跟期望無關吧，如果你從期望出發，倒過去該如何解釋概率呢？
3樓：air
啊，這，題主可以看一下泛函分析，裡面有乙個F.Riez表示定理，證明了在一類特別的函式空間(L^p, 1<=p<∞)下，線性運算元一定可以被表達成乙個積分。
所以說無論是哪種公理化的方式，最後都可以是一樣的。你從運算元的角度出發去定義，可能需要借用泛函分析中的一些想法(雖然學高等概率論之後一定會遇到)，這樣就可能比較難從實變函式之後就引入嚴格的概率論了。這樣學起來比較麻煩，因為這樣初等的概率論(以積分，概率密度函式等)到高等的概率論的聯絡需要很多前置知識來連上(畢竟大多數人習慣積分的想法，你給他講Lebesgue積分會比較自然)。
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