請問分析和幾何，代數有什麼區別與聯絡？

1樓：hindsights

我看到過一種說法是，分析研究的是無限次運算，代數研究的是有限次運算。更具體的說，分析研究的是變化，使用的工具是極限，通常用逼近的方式從已知的概念去推導或定義新的概念。例如，用有理數的序列去逼近得到無理數，並定義無理數的四則運算和冪運算以及指數運算。

再如使用泰勒級數做區域性逼近和使用傅利葉級數做全域性逼近。

代數則主要研究運算對應的結構，例如線性變換、群環域和範疇論等，而不是具體的運算本身。這跟跟高中學習的曲線方程不是一類東西。

我不知道解析幾何應該歸於初等數學還是數學分析，但代數幾何雖然源於解析幾何，不過因為把運算推廣到了更一般的代數結構上了，所以實際上的差別還是挺大的。代數幾何的典型應用有橢圓曲線密碼學。

幾何就不太好說了，它跟分析和代數似乎不能算是同一層面的分類概念。例如有用分析方法來研究幾何的微分幾何，也有用代數方法來研究的代數幾何。還有拓撲這種特殊的幾何類別。

總的來說，幾何偏於形式和直觀，有段時間被認為沒有分析和代數那麼接近數學本質，但現在也有很多人覺得幾何構造有著獨特的意義和作用，包括對物理學等領域，例如廣義相對論裡的黎曼曲面，還有沒被實驗證實，也沒被物理界接受的弦論。

2樓：

但是實分析，復分析，泛函分析等似乎與幾何的關係不明顯。

既然有線性空間裡的【解析幾何】，有代數簇裡的【代數幾何】，為什麼沒有超越方程解集構成的【超越幾何】呢？

請問李群，李代數上的幾何是什麼幾何？

3樓：LovePhysics

最簡單的幾何是平面幾何、立體幾何等等這些內容，也就是歐式幾何的這些內容。接下來是解析幾何，就是將幾何轉移到二維或者三維的座標系中。這時候就是用代數的方法解決幾何問題了。

再接下來，是你說的分析，這是把微積分的方法應用到解析幾何中，解決的是球面、或者變形的物體中的幾何問題。比如你聽到的黎曼幾何、微分幾何、廣義相對論這些，都和這個有關。

應該說你說的代數幾何就是解析幾何。分析是解析幾何+微積分。