1樓：wonderwind
那樣子空間的開集就會變少，甚至在極端情況下變得只剩下Y本身了。
比如說在R^3（給予通常意義下的拓撲構成拓撲空間）當中，R^2是它的乙個子集，但不是開集。考慮R^2作為子空間並給予R^3的誘導拓撲。如果按照教材中的定義，那麼R^2的誘導拓撲洽為R^2在通常意義下的拓撲，恰到好處。
而如果用你的定義，開集就只剩下R^2本身了。這樣是不利的。
所以說，在學習拓撲學當中比較抽象的概念時，要善於結合歐式空間具體一點的例子幫助理解。
2樓：醫鸀蕭
首先，你要明白拓撲為什麼要研究子空間
也就是說白了，拓撲最重要在研究什麼？
同胚。如何研究同胚，連續雙射下的拓撲不變數。
那研究兩個集合是否同胚，其中最重要得關係就是乙個集合和乙個子集是否同胚。
當然我們如何定義都不能保證原集合和子集同胚。
但是我們可以讓盡量多的性質遺傳下來。
比如連通性
乙個集合是不聯通的
那它的子集是不是也不該是聯通的？
你得第二種定義實際上把邊界點都連在了一起。改變了原有點的相關關係。
所以最好的方法就是把原來的開集投影到子集上，以確保很多性質得以遺傳
3樓：孫鵬
或許可以這麼理解，把拓撲空間看成是一般度量空間的推廣，而度量空間裡自然是第一種情況而非第二種。
而第二種往往得到的拓撲也會太弱以至於失去很多原來大空間的結構。比如實數空間作為X，有理數集作為Y，那用第二種定義的話Y上就只剩平凡拓撲了。
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