1樓：
雖然二者現在都是近代代數學的基本研究物件，但從歷史發展上來看聯絡並不是很大。大概寫一下這兩者在我腦中的發展歷史吧。本人記性不好，可能會有記錯的地方 。
群論的研究很早就開始了，至少可以追溯到Gauss。他在《算術研究》裡面發展出了同餘理論，可以看成是研究Abel 群 Z/nZ，同時Gauss還在書後面研究了本原單位根和分圓域（如果n是質數，那麼Z/nZ的非零元在乘法作用下是迴圈群，生成元可以看成是本原單位根）。之後Lagrange 肯定也是研究過群論，雖然不清楚細節，但是現代人學習群論遇到的第乙個非平凡結論應該就是Lagrange 定理吧？
群論（置換群）較為深入的研究可能是從高次方程求根開始的，從現在把交換群稱為Abel群就可以看出Abel的貢獻了，Lagrange 和Galois 都研究過根的置換，天才Galois更是通過研究乙個新預解式對應的群的性質完美解決了求根公式問題（Galois理論），抽象群的研究就是從Galois開始的。之後應該就是研究有限群的分類問題了，大概上世紀末徹底分類完了吧（據說有上千篇文章，不知道有沒有人總結過）。群論在20世紀比較主流的研究方向可能是群的表示理論，現在還有一些人做，但是總體感覺是沒落了。
交換代數的歷史要短得多，是20世紀初由Hilbert和Noether 那一批人搞出來的。「代數」這個概念建立在「環」上（環比群多了一種運算，如果只看加法的話就是乙個Abel群，從這個意義上和群是有聯絡的），最早好像是Hilbert提出來的，然後被Noether抽象化。交換代數的研究是從Noether環開始的，第乙個重要的結論是Hilbert基定理？
前期最重要的研究物件是理想，特別是（準）素理想（準素分解、Hilbert零點定理等），而這些結果在代數簇上面有著直觀的對應，在某種程度上可以把交換代數看成代數幾何的基本研究工具。哦對了，還有大神Krull, 他提出了環的區域性化、完備化和維數概念，還有著名的主理想定理，不比上面兩位的貢獻小。另乙個非常重要的發展方向是表示理論，一般也叫模論。
群的分類還可以做一做，但是環或者代數的分類基本上是做不動了，甚至於連它們上面模範疇的分類都是非常困難的。之後就開始研究模範疇的匯出範疇、奇點範疇等。
2樓：frog
環是阿貝爾群不能稱作乙個關係，最初群論和環論起源的時候完全出於不同的目的，不能因為後人抽象以後寫到抽代教材裡，結果定義長得像，你就說這是乙個關係
交換代數是純粹的工具，至少在第一次課程中學習的那些交換代數是這樣的，不是研究代數數論的工具，就是研究代數幾何的工具，無一例外，更多是研究代數幾何的工具。
群論最初研究有限群，極其依賴西羅p之類的定理，在無限群的時候就沒有辦法了，必須借助其他結構，比如李群具有流形結構，借助幾何研究。在一般域上而不在C或R上的沒有流形結構，要借助代數幾何進行研究，叫做代數群。
研究群表示，需要把群放到群環裡，但大家關心的都是非交換群，所以交換代數沒有用，需要非交換代數，但單靠純粹的代數得到的也是一些初級的結果，核心還是表示論
結合代數是交換代數和同調代數的過渡嗎？
交換代數本身當然是結合代數，但是交換性條件過於優越，所以交換代數這個方向的研究內容和結合代數是有區別的，更加深入也更加特殊。同調代數則是另乙個學科，而且同調代數有很強的工具性。儘管如此，在結合代數的一些現代研究中，同調代數的出現更加頻繁。事實上，我們會常常研究結合代數的模，並且這個模範疇的匯出範疇攜...
有哪些交換代數的好教材？
格羅卜學數學 除了Atiyah,我還推薦以下3本書 Rotman Matsumura Serre 高等近世代數 豆瓣 起點低,從基本的群環域開始,一脈相承.內容豐富,包括了同調代數和交換代數.例子巨多,很詳細.有一些代數幾何和代數數論上的應用.缺點是有點亂,有點囉嗦.Commutative Ring...
群論和拓撲學有什麼關係？
李安成 和拓撲中的基本群 fundamental group 有許多關係。比如 由 Cartan Hadamard定理 the universal cover of a complete m dimensional Riemannian manifold X of non positive sect...