量子力學和 Lie 群 Lie 代數有什麼關係？

1樓：Yuan

其實量子力學與李群，或者說李群的表示論，最根本的關係在於，如果我們有乙個物理上的量子系統，並且有乙個群操作作用在上面，則這個系統的態空間也就是希爾伯特空間，會提供乙個的么正表示。這意味著我們可以通過研究的么正表示，來獲取這個量子系統的資訊。而這個李群上的李代數的表示則提供了觀測量。

對於研究乙個空間來講，一種方法是去觀察上的函式空間，因為函式空間作為乙個向量空間，可以使得問題得以簡化（「線性化」）。而如果這個空間擁有某種對稱性的話，也就是在乙個群操作下，保持不變，它的函式空間同樣會獲得乙個誘導出的乙個線性變換

注意其中的逆元是為了保證群作用的順序。

換言之這個函式空間就成為了的乙個表示

其中是可逆的線性變換。

如果我們現在把上面的一套語言作用在量子系統上的話，我麼可以選擇原空間為，上面的函式空間為希爾伯特空間，這樣波函式就滿足

這裡需要畫重點的是，自帶乙個內積，所以很自然地我們想要讓這個群表示保持內積不變，也就是要讓它是么正的

這個時候很顯然群表示，構成了乙個么正群，。

了解了一些基本概念之後，我們現在可以對群操作做一些具體的研究。其中乙個極為重要的點便是系統的連續對稱性，不同於離散對稱性用點群來描述，連續對稱性需要連續群，也就是李群來描述。乙個極為經典的例子便是，對擁有連續旋轉對稱性的三維系統而言，描述其對稱性操作的是李群。

李群的另乙個特點是，除了群結構之外，他同時還是乙個微分流形。利用這個特點，我們還可以通過研究它上面的切空間的性質，然後用指數對映把切向量返回成李群上的群元。這時候我們可以定義乙個在原點上的切空間，並管它叫李代數。

為了方便理解，還是拿來舉個例子。

考慮一條在流形上的一條引數曲線，特別要求為單位矩陣。對於我們有，所以我們可以得出他的李代數 :

也就是的反對稱矩陣，引數化之後可以寫成

，另外取乙個基底，使得，譬如

，所以李代數這個切空間由三個基底向量展開，其中不難驗證對易關係（李括號）。

有了李代數也就是切空間之後，通過指數對映我們可以得到乙個李群上的群元

，這也是我們熟悉的，繞軸的旋轉矩陣。所以通過指數對映的方式，我們可以得到，其中是三個參量，是三個李代數的基底。

更普遍地講，矩陣李群的群元可以寫為的形式（這裡是李代數）。

有了李群的群元，現在可以回到之前要求的群么正表示上，把換成，可以寫出我們之前要求的么正性為

，也就是

我們可以得到

這時改寫，我們就有了，這裡很明顯是乙個厄公尺算符。根據量子力學的公設，厄公尺算符對應著可觀測量，所以這裡的李代數對應著乙個可觀測量。在之前舉的例子裡面，李代數對應著的觀測量便是角動量算符，同理對應著的觀測量是自旋算符，以及對應著電荷。

之後可能補一些其他的細節或者是和在函式空間上的表示，也就是球諧函式以及多項式函式。

2樓：卡卡羅特

群論是對稱性的語言。

初等的量子理論，就是大學階段學的那種，對對稱性依賴不強，因而不需要群論。

李群描述是有無窮小變換的連續對稱性變換。

3樓：物理學徒妖妖夢

如果你見到對易子，你就見到Lie代數了。你從Schrdinger方程解出來的球諧函式，就是Lie群在函式空間上的表示。這些是任何一本教材上都一定會提到的，只是不明說這個是Lie群，這個是Lie代數，因為這只是個名字而已，只是搬乙個名字出來除了嚇人沒有任何用。

4樓：觀光鴨

力學量算符就是Lie代數的表示，而時間演化算符和各種變換算符就是Lie群的酉表示。量子力學裡的各種代數解法本質上就是半單李代數的表示理論裡的計算。量子力學裡求各種算符的本徵值問題本質上也就是在求解李代數表示空間的各種資訊。

只不過一般初量教材裡不會告訴你它們是從Lie群李代數表示來的而已。