1樓：Abel
大佬們把復分析的事都差不多說完了
我來說說實分析
第乙個例子
用來構造一種具有 上具有緊支集的光滑函式——磨光函式
其餘的地方都是0啦
一般取 使得
它具有很好的性質
比如和 中的函式作卷積可以得到光滑函式
也可以利用它對 中具有緊支集的函式依範數進行逼近
這些都是研究廣義函式必不可少的知識
第二個例子
可以用來構造Volterra's Function
①該函式在 上處處可導
②導數有界
③導數在乙個具有正測度的集合上不連續，故不是黎曼可積的
這個例子對於理解導函式的不連續點必為第一綱集大有裨益，也是導函式的不可導點具有正測度的例子。
最近看到汪林老師的《數學分析中的問題與反例》多元函式部分
更新一波
例1
乙個在原點沒有二重極限，但沿著任意形如 的曲線逼近原點時極限為0。
c為非零常數，n，m為互質的正整數，n為偶數時，x非負。
沒有感到有什麼大用處
例2
具有各階偏導數但不連續的二元函式
例3
二重極限存在但兩個累次極限均不存在的二元函式
類似的可以構造二重極限存在但兩個累次極限僅存在其一的二元函式
例4
連續但各個方向導數均不存在的二元函式
例5
偏導數不連續的可微函式
這說明偏導連續必可微的逆命題不成立
例5.5
偏導數不連續的且偏導數在任一鄰域內無界的可微函式
例6
二階混合偏導數相等但不連續的二元函式
這說明兩個偏導數存在，乙個混合偏導數存在且連續，則另乙個混合偏導數存在且與之相等的連續性條件不滿足時結論仍可成立
當然對於具體的函式我們一般直接通過計算來判斷二者是否相等
還有一些反例都是用多項式或者級數構造，與題主給的兩個函式無關就不展開了。
2樓：Triviality
只談第乙個函式。
第乙個函式是光滑函式，但在原點不解析。f在0處的任意階導數都是0，故任意階泰勒多項式都是零多項式，泰勒多項式收斂。但在0處的任意鄰域內存在非0點，故泰勒多項式不收斂到f。
故f不解析。（這裡 @蘇red ，和Ivan布置的1023作業相關）
第乙個函式有什麼用呢？它可以用來構造compactly support 的光滑函式，而後者常用作：
逼近。compactly support的光滑函式在L1-spaces裡是dense的（好像可以換成L^p，Folland上似乎有這個結論），換句話說，任意乙個勒貝格可積函式都可以被乙個compactly support光滑函式逼近，使得積分的差任意小。
schwartz function，測試函式（test function）。這種函式性質好的一批，可以放心大膽地構造傅利葉變換等等的東西，然後用逼近性質把傅利葉變換推廣到general的L^1 space裡去。
先這樣，以後學到更多再更。
3樓：三川啦啦啦
考慮這個函式的解析域。
設運算元解析當且僅當[1]
當 但是當 時，上面的運算失去意義，故 在零點不解析，事實上零點是它的孤立本性奇點。這是因為
由Picard大定理，它在 的任意領域內可取得 的任意值，最多只有乙個例外。而泰勒公式只有在某點鄰域內「穩定」才能對其利用多項式進行良好的逼近，而面對本性奇點這種怪物，只能束手無策。所以 在零點趨於任何值都不用大驚小怪，可憐的孩子被玩壞了……
同理。上圖是 的模曲面，其中紅軸是實軸，綠軸是虛軸。顯然沿這兩個方向接近原點，極限不同。
4樓：予一人
遙想二十年前，我還是英姿少年。夜讀Richard Courant的Introduciton to Calculus and Analysis （這書國內好像有中文版），就在其中遇到過這兩個反例。
5樓：
題主的第乙個例子稍微換個形式就是圖中的這個函式(from Evans' PDE)。這就是最簡單的無窮階連續可導並且有緊支集的非零函式，在調和分析和偏微分方程中很常用。
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名字相似的東西並不一定有很多聯絡。蝸牛和奶牛半毛錢關係都沒有。如果非要說有聯絡，那麼就是這幾個學科剛剛成立的時候，或多或少和我們口語中的 分析 有一點關聯。查一下字典 Analysis detailed examination of the elements or structure of some...
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經常檢查節操的jc 你覺得不直觀因為你知道的例子不夠多。比方說我提到汽車，你應該立刻想到一些汽車的樣子。同樣對於數學概念，如果提到乙個數學概念，你能馬上想到一些符合這個概念的例子和不符合這個概念的例子，那麼自然對這個概念的理解就會更深入 Hoyeung Wong 我的方法比較笨，先證明，再去理解直觀...
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