數學分析中，為什麼空集即是開集又是閉集呀？

1樓：ZYH-0430

一般地，如果我們考慮非空集合 X （此時我們稱 X 為空間）的話，那麼我們說乙個包含 X 的部分子集的集合 T 是 X 上的拓撲若T 包含 X 和空集，並對任意並和有限交封閉. 我們稱 ( X , T ) 為拓撲空間，T 中的元素為開集，而這些元素的補集為閉集.

由定義可知，空集既是開集又是閉集.

2樓：zdr0

設為乙個性質。設集合為集合的乙個子集。定義：

為集合的空集。由於成立：

且命題總為真，進而命題：

為真。這表明集合的空集具有一切性質。因此滿足「為開集」這個性質。當然他也滿足「為閉集」這個性質。

3樓：大趨勢無知的蝸牛

對於空集其補集為全空間。而在集合中有這樣乙個規律就是乙個集合A是開集，那他的補集必為閉集。所以如果空集是閉集，那全空間為開集；如果空集是開集那全空間為閉集。

而有限開（閉）集的並或交為開（閉）集合。空集與全空間的並是全空間，交是空集，所以只有空集和全空間都既是開集又是閉集時，數理邏輯才是自洽的。

4樓：火燒雲

開集定義：E=｛E的內點｝

閉集定義：餘集為開集

內點的定義：存在r>0使B(M,r)屬於EB(M,r)={M』|M』與M間的距離小於r｝空集滿足E=｛E的內點｝（二者都是空集），因此為開集空集為閉集等價於全集為開集，顯然｛U的內點｝=U，因此全集為開集，空集為閉集

5樓：xinggu

設為包含對映。則 .

如果空集不是開集, 則開集的原像不是開集，於是不連續。這豈不是很糟糕？

類似地， . 所以空集也應該是閉的。

6樓：

空集沒有元素。

因此所有空集中元素都為其內點。(p——＞q，且p為假的情形，q永遠真)

空集包含其多有邊界點。(同上)

因此空集既是開集又是閉集。