1樓：張戎
傅利葉變換（Fourier Transform）其實是數學裡面非常重要的一門技術。在數學分析裡面，就有傅利葉分析的身影，用於計算正整數的平方倒數和等於 並且還有很多其他有意思的性質。
對於初學這門課程的人而言，建議閱讀一代數學大師，沃爾夫獎得主 Elias M.Stein 撰寫的《傅利葉分析導論》，英文名是 Fourier Analysis An Introduction。
在這本書裡面，作者從波動方程和熱方程開始，逐漸引入傅利葉變換的基礎知識和概念，也介紹了傅利葉級數的收斂性質。其中包括單位區間上的傅利葉變換和實數軸上的傅利葉變換，最終將其推廣到高維實數空間中。除此之外，作者也基於這些基礎知識介紹了傅利葉分析在其他領域中的應用，包括等周定理（The Isoperimetric Inequality），同程度分布定理（Weyl's Equidistribution Theorem），數論中的 Dirichlet 定理等等。
讓讀者在學習傅利葉分析的同時，認識到傅利葉分析是在數學各個領域都有著重要應用場景的一門學科。
本書由在國際上享有盛譽的普林斯頓大學教授 Stein 撰寫而成，是一部傅利葉分析的入門教材，理論與實踐並重。為了便於非數學專業的學生學習，全書內容簡明、易懂。全書分為 3 部分：
第 1 部分介紹傅利葉級數的基本理論及其在等周不等式和等分布中的應用；第 2 部分研究傅利葉變換及其在經典偏微分方程及 Radom 變換中的應用；第 3 部分研究有限阿貝爾群上的傅利葉分析。書中各章均有練習題及思考題。傅利葉分析在學習完了數學分析之後就可以看了，問題不大。
復分析通常來說是在大學二年級或者大學三年級學習的課程，復變函式通常也是作為分析學的必修課，其所需要的基礎知識一般也就是數學分析。復分析是一門歷史悠久的學科，主要是研究解析函式，亞純函式在復球面的性質。下面一一介紹這些基本內容。
（1）提到復變函式，首先需要了解複數的基本性質和四則運算規則。怎麼樣計算複數的平方根，極座標與xy座標的轉換，複數的模之類的。這些在高中的時候基本上都會學過。
（2）復變函式自然是在復平面上來研究問題，此時數學分析裡面的求導數之類的運算就會很自然的引入到復平面裡面，從而引出解析函式的定義。那麼研究解析函式的性質就是關鍵所在。最關鍵的地方就是所謂的Cauchy—Riemann公式，這個是判斷乙個函式是否是解析函式的關鍵所在。
（3）明白解析函式的定義以及性質之後，就會把數學分析裡面的曲線積分的概念引入復分析中，定義幾乎是一致的。在引入了閉曲線和曲線積分之後，就會有出現復分析中的重要的定理：Cauchy積分公式。
這個是復分析的第乙個重要定理。
（4）既然是解析函式，那麼函式的定義域就是乙個關鍵的問題。可以從整個定義域去考慮這個函式，也可以從區域性來研究這個函式。這個時候研究解析函式的奇點就是關鍵所在，奇點根據性質分成可去奇點，極點，本性奇點三類，圍繞這三類奇點，會有各自奇妙的定理。
（5）復變函式中，留數定理是乙個重要的定理，反映了曲線積分和零點極點的性質。與之類似的幅角定理也展示了類似的關係。
（6）除了積分，導數也是解析函式的乙個研究方向。導數加上收斂的概念就可以引出Taylor級數和Laurent級數的概念。除此之外，正規族裡面有乙個非常重要的定理，那就是Arzela定理。
（7）以上都是從分析的角度來研究復分析，如果從幾何的角度來說，最重要的定理莫過於Riemann映照定理。這個時候一般會介紹線性變換，就是Mobius變換，把各種各樣的區域對映成單位圓。研究Mobius 變換的保角和交比之類的性質。
（8）橢圓函式，經典的雙週期函式。這裡有Weierstrass理論，是研究Weierstrass函式的，有經典的微分方程，以及該函式的性質。
以上就是復分析或者復變函式的一些課程介紹，如果有遺漏或者疏忽的地方請大家指教。
實分析的話難度相對大，建議放在復分析的後面進行學習。通常來說復分析是研究性質較好的函式，而實分析是研究性質較差的函式。實變函式還有一段常見的話：
實變函式學十遍，泛函分析心泛寒。因此，在這種情況下，實分析是建議放在大學第三年進行學習的。
泛函分析
以上只是建議的閱讀順序，當然讀者們可以根據自己的情況自行調整，選擇最適合自己閱讀的順序即可。
2樓：羅炫錦
今天剛開始看E.M.Stein的傅利葉分析(調和分析)，影印版前言的幾段話觸動了我，所以把這套四卷本的分析學教材推薦給你。
3樓：
我假設題主有比較多的時間可以自學數學。個人建議可以繼續把常庚哲和史濟懷的繼續讀下去，掌握一點多元微積分的基本知識，期間可以學習一點最基本的點集拓撲學。完成這一步後可以開始看實分析以及復分析，這兩部可以暫時要求把握基本概念以及可以完成一些基本的習題即可。
我比較注重拓撲學在分析裡的應用，所以接下來題主可以開始系統地學習點集拓撲了，這一部分推薦munkres的點集拓撲部分(跳掉第一章，每章後的補充材料可以不看)這一部分要求大致是掌握拓撲空間分離性公理，可數性公理，以及各種緊性的關係等等。完成了這一步後題主可以折回去加深對實分析和復分析的理解。接下來題主就能開始硬剛rudin的泛函了(好了我只走到這一步，後面的我就不瞎說了)
4樓：
我覺得分析學方向，數學分析真的是核心，重中之重。分析學的基本思想其實很多都在裡面，後來的高階課程更多的是觀點提公升或者想法改進。所以我覺得肯定是有必要做一些練習的，特別是一些證明練習，熟悉 語言，熟悉分析變數之間的互相依賴性等等。
這個就看你個人的需求了。
至於後續的課程，Rudin的「復分析與實分析」真的很不錯，但是不建議初學者看。他那本書包含了基礎的泛函分析和最原始的調和分析（單位圓上的），做為更高階的讀物很不錯，但是內容對於初學者太多。Stein的對初學者比較友好（我沒完全讀完），但是個人感覺他的書都偏向於調和分析。
特別是復分析那本，對於複數在數論上的作用做了很多介紹，卻很少有幾何的東西在裡面。我覺得你可以看他的書入手，但是如果更想偏向於共形幾何（比如Ahlfors）那一套東西的話，我推薦
B. Palka, An introduction to complex function theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, 1991.
5樓：
做題我覺得常史書的課後練習題，做個一半就夠了。不考研的話，沒必要整那些習題集。
之後有多種進路。可以從實變函式開始，之後看big rudin過渡到抽象分析。實變函式看國內任一本教材都行，當然也可以走Stein那幾卷的路線慢慢看。
不過最好學一些代數，至少本科的高等代數，不然泛函分析會有些吃力。
已學《Thomas Calculus》，數學分析方面哪本書能看懂適合高階？
強烈建議rudin的數學分析原理，zorich的數學分析。菲赫金格爾茲神馬的還是算了，只是微積分的書，沒必要再看一遍，上面那兩本書，rudin對讀者證明能力的訓練非常好，可以說是一道分離數學系和其它系的鴻溝，zorich講的內容觀點非常高例項也不少習題異常難，放到學完微積分之後再來一遍也是很合適的。...
數學分析到底要學什麼？
數學思維的構建 對於非數學系的學者來說，數學只是乙個有用的工具對於數學系的學者來說，他們的任務是創造更多的可以用的數學工具從知道各個數學工具的定義和用法，到知道這些數學工具是怎麼被創造出來 構造的思維與方法 的，並模仿這些數學工具構造的方法創造新的數學工具，就是數學思維構建的過程 無知者 別緊張，沒...
大學哪個專業需要學數學分析？
pjh 數學專業吧。我大一在理學院，讀理科實驗班，大一的時候學數學分析，學一年，大二分流的時候如果選統計或者信科，還需要再讀半年的數學分析。數學分析比微積分，要稍微多一點內容，我大二轉專業了，發現微積分一年就學完了，而我數學分析還差半年的知識，就很慘.不過你學數學分析是為什麼.如果自學的話，你可能有...