1樓：畦哇矽
問題：
設 為實數列，定義 .
求證：若數列 有界且 ，則 .
我們的核心思路是，假設沒有，於是 會無限次地遠離 。又因為 ，所以 會無限次地靠近 。因為 受到限制，所以 在一次靠近和一次遠離之間行進得很慢，經歷了很多很多項才從「靠近狀態」變成「遠離狀態」。
而這麼多項離「靠近狀態」越來越遠的值能夠對平均數造成比較大的影響，這就不可能有 。
證明：經典反證法，假設不是 ，於是存在 ，有無窮多個 使得 \varepsilon_0" eeimg="1"/>。也就是， 中有無窮多項太大或者太小。
所以，「有無窮多項太大」和「有無窮多項太小」中至少乙個成立。我們不妨設有無窮多項太大，即有無窮多個 使得 \varepsilon_0" eeimg="1"/>。
取好乙個待定的 滿足 。假設只有有限個 滿足 ，那麼顯然有 ，這不可能，所以有無窮多個 滿足 。
結合上述兩條「無窮多個」，我們就可以取一列正整數 使得對於每個正整數 ， \sigma+\varepsilon_0." eeimg="1"/>
在把這一列正整數取好之後，在諸 不變的情況下修改 的取值，使得 依然成立的條件下 盡可能大。也就是， 且對於每個 滿足 ， 。
取好乙個待定的 0" eeimg="1"/>，因為 ，所以存在正整數 任意 N" eeimg="1"/>都有 。不妨設 。
因為 有界，所以存在實數 使得對任意 都有 ，即 。
取乙個正整數 使得 N" eeimg="1"/>，我們來研究 到 之間這一段發生了什麼。我們有
上面第三行那個不等號可以搞個導數證明，最後乙個不等號是因為當 2" eeimg="1"/>時是增的從而 。
所以， \mathrm e^}." eeimg="1"/>
我們有又有
所以， ，
注意到，只需要任選乙個 ，然後令 足夠小（它們都是「取好待定」的常數，也就是我們可以任意控制），上面那個式子必定不成立。這就匯出了矛盾。
QED !
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