1樓：高考數學呆哥
這題貌似涉及到一點簡單計算，所以我覺得與其當成數分題來寫的話，不如當作高中題來寫。
第二題太簡單，就不寫了，把調和級數單獨放在一邊的時候，另一邊在 4" eeimg="1"/>時是小於0的，故前三項可以通過列舉寫出，後四項直接根據調和級數大於0即可。
第一題，可知 0" eeimg="1"/>時，有： ，這個通過帕德逼近進行一些簡單的放縮即可得到。
1" eeimg="1"/>時，有 \ln n + \frac} + \frac\] " eeimg="1"/>
所以 4\] " eeimg="1"/>時，有：
\ln n + \frac} + \frac > \frac}} > n\left[ \right)}^}} - 1} \right]\] " eeimg="1"/>
第二個不等式是高中水平，由於 時， 明顯是比 高階的無窮大量，所以是很可能成立的，因此放心求導（實際上作差後即可證明 4\] " eeimg="1"/>時遞增，所以只需要在 之前的部分對 和 比較一下，在之後的部分對4處估值）
實際上，我們容易發現，如果取 在 時的二階 展開，即無窮處的泰勒展開時，會得到 3" eeimg="1"/>時，有：
\ln n + \frac} + \frac > \ln n + \frac^2}n + 2}}} < n\left[ \right)}^}} - 1} \right]\] " eeimg="1"/>
意味著反向了，但若是調整 展開的低階項係數，可以得到
\ln n + \frac} + \frac > \ln n + \frac^2}n + 3}}} > n\left[ \right)}^}} - 1} \right]\] " eeimg="1"/>
這種無窮處調常數階的方法曾被我用於得到 級數（同階下只有乙個方向）的另乙個方向的參考式，對於高中裡的不少題目也有著一些奇效，如果能學習的話自然也是很不錯的。
這個題我就不詳細證明了，只是提供一下高中生角度的解法，實際解起來也就是估值+不等式證明這樣子，而在大學生競賽考場中大概這樣寫是不合適的。
如何用調和級數證明質數有無窮個？
無窮 對全體素數p,考慮p p 1的連乘 Euler 乘積 化簡，利用等比數列，再利用唯一分解定理，得到其即為調和級數，由調和級數發散，知素數有無窮多個 TravorLZH 個人認為調和級數的操作過程比較複雜，但是用巴塞爾問題來證就明顯會方便很多 引理 證明 顯然 定理 素數數量是無限的 證明 假設...
如何用通俗易懂的語言解釋 調和級數為什麼叫 調和 級數？
予一人 這個是數學史的問題。調和 實際上也就是 和諧 harmonic 現有文獻表明，它是由古希臘畢達哥拉斯學派最早發現 命名並加以系統研究的乙個數學概念。畢達哥拉斯學派，既是乙個學術組織，也是乙個宗教組織。他們喜歡從神秘主義的角度來研究數學，或者說，喜歡從數學中發現某種 神秘性 mystery 因...
有沒有日常的, 能在直覺上說明調和級數發散的例子
我們來考慮一下搬磚 我們把一塊磚擺在另一塊磚上面，但擺的整整齊齊有點無聊，我們稍微搓一點。顯然這不能搓狠了，在沒有水泥的情況下，搓狠了磚會掉。最上面的磚伸出來一半的樣子是可以的，並且這也是能伸出來的最長了。然後我們繼續搬磚，在這下面新增新的磚。我們把磚長的一半記作 b，然後每次這樣少搓一點點 考慮重...