1樓：豬豬俠
你這個表述錯到離譜.
1.調和函式是定義在開集上的，沒有所謂的閉區域上的調和函式，正因為此，所謂Laplace方程的邊值條件的定義需要十分謹慎，有許多種不同定義的方式，例如一致連續、分布、測度、法向量一致逼近等.
2.顯然應該是在 上積分，否則法向導數沒有意義.
3.你這個表述換個方式就是：
其中 是Newtonian potential，也可以叫基本解.眾所周知，在一般區域上，上式右側只能表示乙個調和函式，而給不出任何邊界資訊.正因為此，我們才發展出許多其他的求解調和函式的理論，例如Green函式方法、位勢方法.
4.正確的表述是
其中 是區域 上的Green函式.不過需要注意的是，這個公式的證明非常容易，但它一點用都沒有，因為一般區域的Green函式幾乎求不出來.
5.比較好的求解調和函式的方法是使用位勢理論將方程轉化為關於基本解作為Hilbert-Schmidt積分核的積分方程，積分方程總是好求的，在數值計算上也容易操作.
我之前看錯了......你是已經知道 的情況下，要得到其中一點的表示，那麼基本解的表述是對的，證明只需要使用逼近技術即可：
設 ， ， ， ，則
其中 指的是 上的分布空間，令 ， ，則結論成立.這裡值得注意的是，上述式子成立的條件是邊界 是 子流形， ，因此在這個證明下，需要加上這兩個條件.
如果你是物理系的，那證明將更加簡單，甚至不需要逼近技術，唯一需要的是Green公式：
其中 是Dirac分布.
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