1樓：江東四傑
可以把有界去掉。
對G取連通分量(connected components)可以得到若干個不相交的開區間。
接下來可以證明:IR上的互不相交的開區間至多只能有可數個(此命題推廣到IR^n仍然成立)
由Q的稠密性，可知每個G的連通分量必覆蓋某些有理數p/q。構造從Q至IN的單射，依p/q對映到IN的順序將每個開區間標號(忽略未被覆蓋和被已標號開區間覆蓋的p/q),即完成可數性證明。
2樓：小狐狸
對於任意乙個 x∈U（U是給定的開集），你都可以找到唯一的乙個 Ax，這裡 Ax 表示含於U的x的最大的鄰域（請自行驗證），並且對於任意不同的兩點 x,y ，Ax 和 Ay 要麼相等要麼無交（請自行驗證）。
那麼你考慮 E=∪(Ax)（x∈Q∩U），這就是所要求的「至多可數的開區間之並」。
實際上問題中有界的條件是多餘的×
如果是 R^n 中的情形（結論稍有不同），你大概可以這麼考慮：把整個空間網格化，也就是分割成一塊塊的正方體，第n次的分割取每一格的刻度為1/n ，然後你去考慮這些方格（區間）中那些被所給開集 U 包含的部分，你會發現這種刻畫會越來越精細，最後自然想到把這些方格取個並會不會就是 U 呢？這個問題就不再給出完整思路了，留給你自己考慮吧。
3樓：lamour
我剛剛學這一塊，還沒接觸到連通性。
但我想R上有界開集G與（0，1）等勢（存在乙個雙射f），那麼只要證（0，1）區間上可以表示即可。顯然有 ,他們互不相交，且為可數個（要求有限個時候把他們的一些並在一起救可以）。這樣就表示出來了。
但是這種方法把抽象的問題轉化到了具體的例子上，沒法給出具體的對映是什麼，可能沒有連通性證明那麼嚴密。
4樓：
我們要用道路連通性這個概念。R的子集A稱為是道路連通的，如果對任何x,y∈A，存在乙個連續對映γ:[0,1]→R，使得γ(0)=x，γ(1)=y，並且im γ含於A。
首先注意到，道路連通的開集是開區間(去證道路連通的U=(inf U, sup U)即可)。
我們定義R的子集A的道路連通分支為A的乙個子集S，對任何S含於T含於A，都有T不是道路連通的(即S是A的極大的道路連通子集)。A可以有很多個道路連通分支。
注意乙個事實：A的不同道路連通分支兩兩不交，否則它們的並是比它們更大的道路連通集。
再注意乙個事實：對任何x∈A，集合S=含於A，而且S是道路連通的。S事實上也是極大的道路連通子集，不然設T含於A比它更大，那麼對任何z∈T，x到z有道路連線，這說明z∈S，T含於S。
以上兩個事實說明A是A的所有道路連通分支的不交並(注意這裡僅要求A是R的子集，沒說開)。
由Vi的表示，我們可以知道它是開的。因為對任何x∈Vi，存在(a,b)使得x∈(a,b)含於U，顯然(a,b)含於Vi(觀察Vi的定義)，所以x是Vi的內點。所以Vi是開的。
然後再證Ui們是可數的就好了。從每個Ui裡挑乙個有理數，這樣就得到了到Q的單射。#≤#Q。
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