1樓：Heinrich
與其上的standard topology 構成 linearly ordered topological space (LOTS)
因為 的兩個特殊性質：1, the least upper bound property; 2. 稠密 ，所以 是linear continuum 因而是 connected。
而我們知道 connected space 有且只有兩個clopen sets.
2樓：Yiming Wang
當然，拓撲空間利用連通性可以秒殺這個問題。。。
乙個即是閉集又是開集的集合，如果有極限點，一定屬於該集合（閉集性質）而且是個內點（開集性質）
這裡不用反證法了：假設非空集合 同時是乙個開集也是乙個閉集。 也是乙個開集和閉集，且有 。
我們任取 中的元素，要麼屬於 ，要麼屬於 。若 ,則 是 的聚點也是其內點。 存在 0" eeimg="1"/>使得 。
我們看到這個鄰域內的所有的點都屬於 ，由於相當於 擷取乙個開區間，裡面每個點因此都是 的聚點。事實上也是聚點，於是它也屬於 ，而且是個內點。因此這個鄰域可以稍微擴得更大一些。。
擴成\epsilon>0)" eeimg="1"/>。好了我們現在證對於任意 0" eeimg="1"/>, 。假設這個鄰域可以取的範圍是有上界的，由最小上界性可知存在 對於某個 0" eeimg="1"/>。
不難發現 （因為它是乙個聚點）因此也是個內點，在右開鄰域內有比 更大的數，矛盾。（左開鄰域也可以這樣無限擴張）
然後我們可以利用實數的稠密性把 擴張成 ，得到結論 。 。
其實這個證明需要modify一下，原因是因為我寫的太隨意了。。。
3樓：
這是因為，我們知以下等價：
是乙個不連通空間
中存在乙個既開又閉的非空真子集。
而實數空間 是乙個連通空間，源自於，若假設 是乙個不連通空間，那麼 會有兩個非空的閉子集和 s.t. 且 。
任選 ， ，不妨設 ，令 ， ，則易知 。
對於 ， 的乙個上界是 ，從而知 會有上確界，記為 ；又因為 為閉集，因此 。
易知不會有 ，所以 。
若 ，則會推出 ，這與 ， 無交矛盾，所以只能是 。從而 ，進而也有 。
由於易知 ，所以有 ，也即推出了 。
綜上則知，證出了 同時在 和 中，這與 矛盾，因此知 是乙個連通空間。
依照等價式就說明，實數空間 中既開又閉的只能是 和 。
4樓：一千億個太陽
假設存在R的非空真子集E，它既開又閉，那麼它的補集E^c是非空真子集且是閉集。作為兩個不交的非空閉集，它們沒有公共的邊界點，這與它們互補矛盾。
5樓：mathe
這個命題太基礎了，最好說明一下這裡開集和閉集是怎麼定義的。
假設存在這個即開又閉的集合X不是空集也不是R,那麼可以找到a在集合中，b不在集合中，並且不妨假設 .
記 為閉集，所以其最大元素z存在。於是區間(z,b]都不在集合X中，所以z的任意乙個領域都不包含在X中，和z是開集X中元素矛盾。
數學分析中，為什麼空集即是開集又是閉集呀？
ZYH 0430 一般地，如果我們考慮非空集合 X 此時我們稱 X 為空間 的話，那麼我們說乙個包含 X 的部分子集的集合 T 是 X 上的拓撲若T 包含 X 和空集，並對任意並和有限交封閉.我們稱 X T 為拓撲空間，T 中的元素為開集，而這些元素的補集為閉集.由定義可知，空集既是開集又是閉集. ...
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Walter Huang 補充 本證明是需要Heine Borel定理，不是一般情況。也不請自來，也強答一波。題目問有界閉集的無窮子集的極限點是否落在集合內。Richard Xu給了證明 而關於極限點是否落在無窮子集內，周馳也給了反例。我想再談下在R k中的存在性，即R k中任何無窮子集 在這個有界...
如何證明 n 維實數集 R n 與實數集 R 等勢？
梅心情 arctanx將R對映到有限區間，再做一下標準化，就是R到 0，1 的乙個一一對應。所以問題就轉化為找 0，1 0，1 到 0，1 的一一對應。將 0，1 內的小數都表示為十進位制形式0.abc.可以證明，除了可列個小數以外，其他的小數的十進位制表示方式都是唯一的，而那可列個小數只有兩種表示...