1樓：睎xii
在卓里奇版本的《數學分析》裡，實數集被定義為滿足四條公理的集合，其中的第四條：
完備（連續）公理如果 與 是 的非空子集，且有性質： 都有 ，那麼 有 .
作為公理，它引出乙個判斷數集完備（連續）性的方法，對於有理數集 ，只需要在上述公理中固定 即可。
這條公理很容易引起理解上的錯誤，有些人人會誤以為是先給出 然後針對 再去尋找 ，其實不然，是確定 後就尋找 來滿足 的限制，有先後區別。
2樓：arvyanh
連續性是給對映用的，我覺得這裡應該是完備。
度量空間至於完備的定義就是所有基本列收斂到完備空間的乙個點那麼你就可以找乙個每一項都是有理數但是收斂到根號二的數列來證明不完備還有問題裡的上下類不知道在說什麼，能把書截張圖發一下嗎
3樓：幷州達人
因為1和1.5之間存在根號2，根號2不是有理數，所以有理數不是連續的。
如果想要延伸到證明有理數是處處不連續的，
在任意兩個不相等的有理數之間，必然存在乙個有理數，使得這個有理數乘以根號二在這兩個有理數之間。有理數乘以根號2是無理數，所以，任意兩個不相等的有理數之間必然存在乙個無理數，所以有理數處處不連續。
4樓：
首先，要明確，什麼叫連續。
實數完備性定理（有六七條吧好像），用了「定理」兩個字，但實際上它們是一組兩兩等價的公理。如果承認了它們其中之一，另外那幾條全部都成為定理。換句話說，任何一條都可以拿來當做完備或連續的定義。
（要指出，在實數範圍內它們等價，但可能在有些範圍內，它們並不等價，詳見泛函分析課本，這時候就不是隨便一條都可以拿來當做完備或連續的定義了。完備性永遠指柯西收斂準則，連續性不記得是哪個了。）
例如，說說這個最簡單的，確界原理吧，實數任意有上界的子集在實數範圍內有上確界（或者把上界換成下界）。那麼如果把這一條改造成連續的定義，就是這樣：如果集合A的任意有上界子集在集合A內有上確界，那麼集合A連續。
那麼拿這個來驗證一下有理數集是不是連續的。其實很容易找到返利，如這個集合，在有理數範圍內是沒有上確界的。於是，有理數不連續。
實數完備性定理裡面每一條拿出來改造一下，都可以成為定義，也就是連續的定義了，用來驗證有理數是否滿足即可。
5樓：「已登出」
你是不是想要問怎麼證明有理數不滿足柯西收斂準則/上確界引理/柯西-康托爾原理/極限點引理/博雷爾-勒貝格原理...Whatever？
那叫完備性，不叫連續性。雖然完備性從某種意義上就是指的是沒有間隙，但是這裡的間隙只是直觀的認識。
一般連續性都是一些於拓撲能扯上關係的東西。
6樓：Will
這玩意還有嚴格證明？記得實數系連續性（實數連續統）是當公理來「描述」的，沒有啥證明。當然，實數連續性和柯西收斂給出的實數完備性等價，認為其中乙個是公理可證明出另乙個。
既然實數連續性是當然公理，有理數系不連續不是顯而易見嗎？證明了無理數的存在，不就是有理數的斷點？
7樓：佐理慧
康托爾的集合論： 有理數是可數集。
這個結論有些難以置信，但有理數和稀疏分布的正整數一一對應。
令集合那麼全體正有理數集合其實就是：
令元素可以構造對應關係： 對應整數
那麼任給乙個整數可以唯一確定整數 0,k>0)" eeimg="1"/>
負有理數構造類似。正負有理數以及 共同組成全體有理數。
雖然有理數是稠密的，無限多，但他依然可以乙個乙個的排列在一條直線上。
首先，可以證明，確實不存在乙個有理數,略。
也可以證明：
,其中 為無理數， （不為0）為有理數
那麼任意兩個有理數之間必然存在無理數。例如任取兩個有理數 ,既然有理數可數可列。那麼我假設 區間上的有理數為：
構造外包區間
那麼：考慮當 時，顯然 區間上全體有理數組成的長度就是而全體無理數的長度便是：
如何證明整數集和有理數集是等勢的？無理數集和實數集呢？
salvare000 可數的無窮集和正整數集等勢。要證明等勢只要能夠在兩個集合建立雙射就行，或者說證明 A B 即證 A B 且 B A 又或者說，可列就是可數的。無理數和實數都不可列 無法與正整數建立雙射 而整數顯然與正整數可以建立雙射，按如下排練 整數的 0 1 1 2 2 3 3 對應於正整數...
有理數是連續的嗎？
反對樓上某位說提問者書讀太少，想的太多的結論。學生如果遇到這樣的老師，孩子遇到這樣的家長都可以稱之為災難！沒有人生下來就什麼都懂，只要問出為什麼.至少說明對該問題有了思考，還是值得鼓勵的。我不相信這位回答者在求學經歷中沒問過問題。進一步說，如果這位的孩子有一天問他，為什麼火箭能上天？太陽那麼熱？之類...
有理數集如何拓展到實數集的？
王飛 這個拓展主要有兩種方法，分別是戴德金的分割理論以及康托的序列理論。有理數域的 缺陷 主要體現在在其內存在不可公度的線段存在。這問題又可以由兩種不同方式描述，所謂連續性的第一種表述和第二種表述。由此，可以用有理數為材料兩種方式構造實數。分別把實數定義為有理數集的分割，有理數的序列。然後定義實數的...