1樓：王飛
這個拓展主要有兩種方法，分別是戴德金的分割理論以及康托的序列理論。有理數域的「缺陷」主要體現在在其內存在不可公度的線段存在。這問題又可以由兩種不同方式描述，所謂連續性的第一種表述和第二種表述。
由此，可以用有理數為材料兩種方式構造實數。分別把實數定義為有理數集的分割，有理數的序列。然後定義實數的序，四則運算，特別是連續性。
附上一些梗概。
2樓：奧術構造體
對常進行浮點數運算的人來說，引入十進位制小數是容易理解的，但是有限小數的表示有二義性
學過柯西收斂準則後就知道實數是有理數對度量d(x, y) =|x-y|的完備化
當然如果有別的度量，也可以完備化出別的數，比如p-adic有理數
3樓：折翼
有戴德金分割和度量空間完備化兩種辦法。具體講述請看相關專著。
戴德金分割，簡單的說，就是把(已經定義清楚的)有理數從小到大排好，然後一刀砍成兩段，也就是分割成上集和下集。如果上集無最小、下集無最大，就稱這個分割定義了乙個無理數。詳見卓里奇數學分析，或者華東師大數學分析的附錄二。
這種分割的方法比較直觀。
完備化，就是把有理數的所有柯西序列構成乙個度量空間R，在其中定義新的加法、乘法、0、1等概念，然後證明原來的有理數空間和這個R的乙個稠密子集等距同構。且在等距同構的意義下，R是唯一的。這個R就是實數集。
詳見任何一本泛函分析教材。完備化的方法略有抽象，但這種思想在分析學中有很多應用。
很多答主提到無窮小數，那應該視為實數的表示論，而不是真正的有理數延拓。如果搞清楚相關問題，就不會有「0.9迴圈為什麼等於1」這種困惑了。
4樓：送君天理
Dedekind分劃，有理Cauchy列(Cantor方法)，閉區間套都可以構造，這不難
難的是如何構造序關係和運算，以及證明實數基本命題成立這裡，Dedekind方法核心是證明確界原理，Cantor方法核心是證明完備性，閉區間套方法沒有認真看，很是慚愧
以上構造的細節見《實數的構造理論》王建午等著，《微積分學教程》菲赫金哥爾茨，以及baby rudin
崔尚斌和徐森林各自的數學分析教材也有提及，但不夠詳盡此外，關於數的構造，中科大汪庭芳的《數學基礎》你可能會感興趣
5樓：
沒人提Stern-Brocot樹和法里級數。樓上幾位已經把理論說的差不多了，我這補乙個在實際操作層面如何找乙個實數的有理逼近列。
這裡有一棵樹（魯迅沒說過），每個節點都是由父節點和離著它最近的那個祖...祖父結點生成的（舉例，2/3是由1/2節點和1/1節點生成，1/5由0/1和1/4生成）。生成方法也非常簡單，就是兩個結點，分子和分子相加，分母和分母相加。
如果原來節點上下互質（最簡有理形式），那麼生成的節點也是上下互質的有理數，並且值在這兩個節點之間。那麼對於任意乙個實數，就可以在這棵樹上，找到乙個路徑，每節點上選擇向左走還是向右走，路徑上每個節點均是有理數，並且無窮逼近目標實數。
沒找到中文的講解，這個湊合吧。
Stern-Brocot Tree
這段在《具體數學》中有明確的記載。今天剛剛知道具體數學三巨頭中葛立恆去世了，K神也八十多了，保重。
6樓：
這不是實數理論嗎？
通常數學系大一上學期數學分析一進去就會講這個，一般有兩種方式講這個：1.戴德金分割； 2.
柯西基本列但是我的本科是用了一種無限小數的方法去講了這個。。。個人感覺並不太直觀。。
7樓：神經病
有理數集能夠擴充套件到實數集也是多虧了有理數本身具有良好的性質，不然也只是朽木難雕。
由於我只看過戴德金分劃，所以康托那邊就對不住了（康托痛哭）。
首先，有理數集從集合的角度來說是乙個良序集，即有理數集可以明確地區分大小關係，放在一根數軸（直線）上來說，就是能分「左右」。當然，這一點不是必需的，畢竟複數這種東西都已經證明了完備性。不過先確定這一點，對於後面的想象有很好的幫助。
這告訴我們，在數軸上的任意乙個數點都可以將有理數集劃分為明確的「左」和「右」。同時，在幾何的直觀裡面，直線是連續的，如果有理數可以鋪滿整個數軸，那麼顯然有理數也是連續的；可惜，有理數辜負了大家的期待。
√2就是這樣乙個讓大家對有理數「失望」的例子，具體的故事我就跳過了。但可以知道，我們的的確確可以在數軸中找出乙個不是有理數的數點，進而將整個數軸劃分為「左」和「右」，同時也將有理數劃分為「左」和「右」。這也表明有理數平鋪在數軸上卻依舊存在縫隙。
當然，將數軸劃分為「左」和「右」也代表著將有理數也劃分為了「左」和「右」。因此，對於有理數集來說，將它劃分為「左」和「右」的數點有兩種，一種是屬於它本身的有理數點，另一種是不屬於它自己的非有理數點。基於這兩種情況，在戴德金分劃理論中，將前一種劃分（理論裡面喊的是「分劃」）稱為（有理數的）有端分劃，後一種稱為無端分劃。
稠密性這個情況嘛，腦子裡面想一想也能感覺得出來，雖然可能不知道如何用嚴格的數學語言去描述，但是嚴格的數學語言卻是為我們這種直觀的想法而服務的。
有了有理數的稠密性以後，我們再來看看前面所說的「縫隙」問題，即這個縫隙有多大，長什麼樣子。縫隙嘛，還是在數軸這樣一根直線上的東西，還能有什麼樣子？無非就是乙個點還是乙個有某一長度的小線段，總不至於還能冒出乙個面來吧！
畢竟一維的世界裡簡簡單單，實在容不下人心複雜。
而我們前面所說的有理數稠密性，恰恰將「縫隙是某一長度的小線段」這一可能給徹底抹殺，再加上縫隙也的的確確存在，所以最後我們可以宣布，縫隙的形狀是乙個點！
啊，偉大而完美！
如果縫隙是乙個小線段，那麼它一定有對於的乙個長度，雖然這個長度我們不一定知道具體是多少，但是我們一定知道它存在且不為零（為零的話，那就不是小線段了）。當然，還有一點需要保持清醒的，就是在這個縫隙中是完全不存在有理數的！縫隙最開始給出的初衷就是將整個有理數分為「左」和「右」但卻不屬於有理數的這樣乙個地方，術語就是「無端分劃」。
我們現在確定地就是「無端分劃」的形狀，或者說情形。
現在，我們假設其某中乙個縫隙是乙個小線段，小線段的長度是a，小線段的左右兩個端點分別稱為a1,a2。我們用[a1,a2]來表示一下這個小線段。
這個問題看起來頗有一種「出師未捷身先死」的無奈，但實際上也很好解決，或者說這東西就不是乙個問題——這樣乙個疑問不過是我們受到解析幾何影響之後所留下的乙個固有印象，即長度可以用乙個對應的實數來表示。這並不代表著長度就一定要是乙個數啊！幾何與代數各自單飛數千年，這點事還稱不上大事。
回想一下自己平時畫數軸的情形，一根似曲非曲的直線上馬馬虎虎給出了乙個原點，記為0；然後根據需求又在上面草草給另乙個點記為1，於是便可以認為0點與1點之間的距離為單位1，然後通過與單位距離所成比例（整數比）便可以得到有理數對應的長度了。如此草率的作圖過程揭露了長度與數字之間並不牢固的對應關係，所以我們並不需要擔心在幾何上長度的數值是有理數還是無理數的問題，因為幾何上的長度可以與實數一一對應，卻並不代表彼此完全等同。或者說，我們在即便不知道無理數是否存在的世界裡，依舊可以完完全全地使用長度這個概念，只不過這時候長度只是乙個幾何中的小線段，而非乙個數值。
當然，如果它的長度在數值上恰好是乙個有理數，那我們還是可以安然使用的。
唉，沒想到自己意淫出來的一些問題居然還佔了如此大量的篇幅……我還是感覺寫完算了。
上回說到，有縫隙[a1,a2]，且知縫隙長度為a，那麼在縫隙端點a1左邊長度為a/2的範圍裡面至少存在乙個有理數點，不然的話 ，這個的縫隙長度應該至少變為a+a/2，即這個縫隙的範圍可以擴張。如果可以擴張的話，那麼我們原本所找到縫隙[a1,a2]按道理就不應該被稱為縫隙了，它只能算縫隙的一部分而非縫隙本身。所以可以確定，在端點a1左邊長度為a/2的範圍內（不包括距端點a1有a/2遠的那個端點）至少存在乙個有理數點，然後隨便確定其中乙個有理數點，記為b。
那麼可以確定，必然存在某乙個自然數 n，使得b+n*(a/2)會落在縫隙[a1,a2]中。對於這樣乙個結論不用倍感新奇，相信你前面有乙個100公尺大溝，只要你的步幅小小於100公尺，那麼不管你怎麼跨，都會落在大溝裡。
這樣一來，如果a/2在數值上是有理數的話，那我們就可以構造出乙個落在縫隙[a1,a2]中的有理數點；如果a/2不是有理數，但我們可以構造乙個長度小於a/2且長度數值為有理數的這樣乙個長度p，然後繼續前面的步驟可以得到同樣的效果——即我們可以在縫隙中找到（構造出）至少乙個有理數點。這就徹底打破了縫隙會是乙個「具有某一長度的小線段」的可能性。
接下來，真相只有乙個——縫隙一定是且只能是乙個點的形狀！
這樣的結論告訴我們，有理數在數軸上產生的乙個縫隙只容得下乙個數點，而乙個數點便可以填補有理數所產生的乙個人縫隙。這就產生了一種強烈的對應關係 ，乙個非有理數點對應乙個有理數產生的縫隙。
將這種對應關係再作簡化，乙個數點就是乙個縫隙，乙個縫隙就是乙個數點！
有了上面的認知，下面就很簡單了，我們不妨就將這樣的非有理數點補充進來，使得原有數系再次擴充套件，然後給這些非有理數點乙個名分——無理數！
前面的內容，有一些胡言亂語的地方，望讀到這裡的道友見諒了。因為個人是在對一些細節的東西確實缺乏了解，只能憑藉著已有的一點淺薄了解作一番自我想象以圓其說。
8樓：Triviality
考慮一般的度量空間完備化（completion of metric space）過程即可。
大致過程是
1. 定義一組等價關係：慮柯西序列xn和yn，如果xn-yn的距離趨0，則認為它們等價。
2. 所有的有理柯西序列的等價類構成的集合就是實數集R.
Reference：
Terry Tao的Real AnalysisComplete metric space_Wikipedia
如何證明整數集和有理數集是等勢的？無理數集和實數集呢？
salvare000 可數的無窮集和正整數集等勢。要證明等勢只要能夠在兩個集合建立雙射就行，或者說證明 A B 即證 A B 且 B A 又或者說，可列就是可數的。無理數和實數都不可列 無法與正整數建立雙射 而整數顯然與正整數可以建立雙射，按如下排練 整數的 0 1 1 2 2 3 3 對應於正整數...
如何證明有理數集的不連續性？
睎xii 在卓里奇版本的 數學分析 裡，實數集被定義為滿足四條公理的集合，其中的第四條 完備 連續 公理如果 與 是 的非空子集，且有性質 都有 那麼 有 作為公理，它引出乙個判斷數集完備 連續 性的方法，對於有理數集 只需要在上述公理中固定 即可。這條公理很容易引起理解上的錯誤，有些人人會誤以為是...
自然數冪集與實數集等勢如何證明？
挪威的一棵樹 設 0,1 為集合A，自然數的冪集是集合B。一些實數，用二進位制表示，是有兩種表示方法的。事實上不管什麼進製都會出現這種情況。即，要麼有限位表示，要麼將最後一位的1變成0111.來表示。這兩種表示法都是完備的 即不管哪一種表示方法，都和實軸上的點有一一對應關係，且都會保持域的性質。比如...