1樓：salvare000
可數的無窮集和正整數集等勢。
要證明等勢只要能夠在兩個集合建立雙射就行，或者說證明|A|=|B|,即證|A|<=|B|且|B|<=|A|.
又或者說，可列就是可數的。無理數和實數都不可列（無法與正整數建立雙射），
而整數顯然與正整數可以建立雙射，按如下排練：
整數的 0 1 -1 2 -2 3 -3 ...
對應於正整數的 0 1 2 3 4 5 6 7...
對於有理數，可以建立乙個table：
核心就是對於有理數p/q，p+q=i ，i=1，2，3...時，每乙個i對應的有理數的個數是有限的，一一列出即可。
但是實數不可列，注意不可以在無窮項之後再重新開始列，比如上面的有理數，不可以是這樣列：
1/1 1/2 1/3 ...2/1 2/3 2/5... 3/1 3/2 ...
可以用對角線法證明：
證明0-1的實數是不可數的，則全體實數不可數。
構造無窮×無窮的矩陣，每一行是乙個實數的小數字。那麼假設全體實數也列出。
現在構造乙個新的實數，他的小數字是這樣的，第i個小數字與矩陣的第i個對角元不同（事實上，有8個數字可供選擇），這樣由於這個新的行向量與矩陣的所有行向量都不等，所以不在這個矩陣中，所以這個新的實數確實在你已列出的所有實數外，故不可列。
因為總能找到這樣的實數存在於列出的實數集外。
好像是可數和自然數集等勢？不過自然數到底要不要包含0呢...所以無所謂啦
2樓：hhh
整數集=有理數集《無理數集=實數集
整數集的排列。
0，1，-1，2，-2，3，-3，4，-4，……有理數的排列。
0，1/1，-1/1，1/2，-1/2，2/1，-2/1，1/3，-1/3……
兩者皆為可數集，所以等勢。
無理數集到實數集的雙射。
把2^(1/n)中，2^(1/(2n+1))與有理數集對應，2^(1/(2n))與2^(1/(n+1))對應。
如根號2→根號2，三次根號2→0，四次根號2→三次根號2，五次根號2→1，六次根號2→四次根號2，七次根號2→-1，……
實數和有理數不能雙射。原因實數不是可數集。
3樓：廣予之
有理數可以看做平面中的整數點的乙個子集,(p,q)對應p/q，然後從原點螺旋向外經過每乙個整數點並排序即可得到從自然數的某個子集到有理數集的滿射。說明自然數集的勢大於等於有理數集的勢。而自然數又是有理數的子集，則自然數的勢小於等於有理數的勢。
結合起來就是等號。
對於實數集和無理數集，定義從實數到無理數的函式f，f(p/q)=e+p/q, p/q為有理數。f(2^n*(e+p/q))=2^(n+1)*(e+p/q)。
對於既不是有理數也不是形如2^n*(e+p/q)的實數x，則f(x)=x。
這是乙個從實數到無理數的雙射，從而得出實數與無理數等勢。
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