自然數集N與整數集Z,集合等勢與真子集的問題

時間 2021-05-07 02:46:24

1樓:MAN

「一一對應」的本質就是「數量相等」。當然對於無窮大,有人已經認識到無窮大不能比較大小(最直觀的例子就是題主提出的「整體與部分」的矛盾)。認識到這點不難,難的是能否保持一貫。

例如常見的論調:「無理數比有理數多得多」、以及以此為基礎的「數軸上砍中有理數的概率是0」,等等…。

實際上,無窮集合的「等勢」與「數量相等」的確經常被人們當作同義在使用。不然也就不必否認「整體大於部分」,甚至把「整體等於部分」作為無窮大的定義。

我贊同無窮大不能比較大小。反過來想,「一一對應」的本質(或者說建立單射滿射雙射概念的目的何在?不就是為了比較大小嗎?

)就是比較數量的大小。無窮大的「一一對應」本身是有問題的。

2樓:ocau

你的錯誤在於還是習慣用「個數」這種對有限才成立的樸素概念去理解無窮。書上已經教你雙射,一一對應,等勢這些理解無窮所需概念了,就不要再簡化為所謂「個數」了。無窮可以與自身的部分一一對應,這正是無窮的特性之一。

更簡單的,自然數與偶數一一對應。

3樓:楊柳風

集合的基數(「個數」)是等勢關係定義的特徵,是集合的一種性質。

兩個集合(如N和Z)在等勢關係下是等價的(「個數相同」),具有某種相同的性質,並不蘊含它們是相同的(集合元素完全相同)。

會有這個疑問是因為在日常中具體處理的往往是有限集,而「有限集A的子集B若與A個數相同,則A=B」,但這對無限集是不成立的,所以第一次接觸時會感到有點反常識。

4樓:

請不要再用「個數」這個詞了。

集合論都已經用「等勢」代替「個數相等」,用「基數」代替「個數」了,就是為了告訴你它們不是一回事。無窮集合根本沒有個數這個概念,你為什麼非要把它們混在一起呢。

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