1樓：挪威的一棵樹
設（0,1］為集合A，自然數的冪集是集合B。
一些實數，用二進位制表示，是有兩種表示方法的。（事實上不管什麼進製都會出現這種情況。）即，要麼有限位表示，要麼將最後一位的1變成0111...
來表示。這兩種表示法都是完備的 ，即不管哪一種表示方法，都和實軸上的點有一一對應關係，且都會保持域的性質。比如0.
01+0.01=0.1和0.
001111...+0.001111...
=0.011111...，二者便是對實數域上乙個數進行自相加運算的等價描述。
分別記為表示法1和表示法2。這兩種表示法不能混用，比如選擇表示法1，那麼像0.0111...
這樣的數就沒有任何意義。
而在證明A和B等勢時，若採取表示法1，對A中的數進行表示。a為A中元素，令a中每個為1的位的位數構成乙個集合，記為b，那麼b屬於B。易證這樣的對映是乙個單射。
但並不是滿射，因為，如題主舉的例子，由於採取的表示法1，因此0.10111...是不存在於我們的表示法中的，因此B中｛1,3,4,5...｝並沒有原像。
所以A的基數小於等於B的基數。但可以看到，B中沒有原像的元素構成的集合，其實和有理數的乙個子集等勢，也因此是乙個可列集。也就是說，如果B去除乙個可列集，那麼便和A等勢。
而對乙個無限集，增加乙個可列集，並不會改變該無限集的基數。因此A和B其實是等勢的。
具體來說，有兩種不同的表示的數，是有理數。它們構成的集合C是有理數的乙個子集。因此，構造集合D=C+1。
易知D是可列集，由於任一無限集並上可列集並不會改變基數，故A並D的基數和A的基數相同。
構造A並D到B的對映，如果A並D的元素屬於（0，1］，那麼對映如之前所述。如果大於1，那麼就用第二種表示法來對映。這是乙個雙射，從而A並D和B等勢。
從而A和B等勢。
2樓：陳昊
構造乙個雙射比較難，可以分別構造兩個單射，比如在01序列單射[0,1)時，把0.0101....看作10進製的，而不是2進製，把像空間縮小，再結合伯恩斯坦定理，得出等勢。
3樓：阿列夫零
所以我們只需證明二進位製小數集 的基數和實數的基數相等即可。注意到 ，二進位制表示對映 在兩個子集上的限制： 是乙個滿射， 是乙個雙射。所以
我們再構造乙個對映 ，它把集合 裡的元素對映到集合 中；如果二進位制小數 是有限的，那麼 ；如果 是無限小數，那麼 。易得知 是乙個單射。所以所以.
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