1樓：ZS Chen
這是知乎上很常見的問題了. 我這裡收集一下我曾經回答過的:
對角線法:
反證法證明實數集不可數？
對角線法的"科普解釋":
「實數集合的無窮大比自然數集合的無窮大更大」是如何證明的，我是高中生，能不能用稍微簡單一點的語言描述？
用區間套定理:
ZS Chen：實數集不可數的非對角線證明(Cantor's first uncountability proof)
用Baire綱定理:
ZS Chen：實數集不可數的拓撲證明, 即Baire綱定理的乙個初等應用
用Rasiowa-Sikorski引理, 或者"力迫法":
ZS Chen：實數集不可數的"力迫"證明
2樓：endoresu
定理1：對於任意集合A，都有A的勢小於A的冪集P(A)的勢。
定理2：實數集R的勢等於自然數集ω的冪集P(ω)的勢。
由以上兩個定理，易得#(ω) < #(P(ω)) = #(R)。
3樓：
假設自然數與 等勢，則存在雙射 將 對映為自然數列 在 對映下得到的數列為
將 三等分為
這三個區間內必存在乙個區間記為 使得 ，
將 三等分可得到區間 ，使得 ，
以此類推可得到乙個閉區間套： ，其中
由閉區間套定理，存在 ，使得
而 中沒有乙個元素滿足上述條件，故
這與 矛盾，故 與 不等勢
又由於 與 等勢，故R的勢大於N的勢
4樓：ReIm
康托爾對角線法。
利用y=atan(x)/π+1/2可以讓實數和區間(0,1)上的實數建立單射，而正整數集與自然數集能建立單射，所以如果自然數集和實數集等勢，那麼正整數集也和(0,1)等勢。
假設存在一種方法，使得正整數集和(0,1)可以建立單射，設這種從正整數集到(0,1)的對映為f，記為t=f(n)。
將(0,1)中的數都轉化成十進位制數列的形式，然後構造乙個(0,1)上的數u，使得：
u的小數點後第n位是f(n)的小數點後第n位。
得到該數後，再構造出乙個(0,1)上的新數v，有：
若u的小數點後第n位k是0、1、2、3、4、5、6或7時，則v的小數點後第n位是(k+1)。
若u的小數點後第n位是8或9，則v的小數點後第n位是7。
由此，數v與f(n)中的任何乙個數至少有一位不同，故v不在f(n)中。而v卻又是(0,1)上的數，根據假設應該存在正整數h使得v=f(h)，由此產生矛盾。
故正整數集無法與(0,1)建立單射，自然也就有自然數集無法與實數集建立單射，所以自然數集的勢小於實數集。
自然數冪集與實數集等勢如何證明？
挪威的一棵樹 設 0,1 為集合A，自然數的冪集是集合B。一些實數，用二進位制表示，是有兩種表示方法的。事實上不管什麼進製都會出現這種情況。即，要麼有限位表示，要麼將最後一位的1變成0111.來表示。這兩種表示法都是完備的 即不管哪一種表示方法，都和實軸上的點有一一對應關係，且都會保持域的性質。比如...
如何證明整數 3 是自然數 3？
Martingale 假設已經按照皮亞諾公理建立好了自然數的概念，自然數集設為N。定義N N上的等價關係 a，b c，d 若a d b c設f為N到N N 的對映，任意自然數n，f n n a，a a為任意自然數。容易驗證f為良定，單射。從而f是N到N N的的乙個嵌入。證畢 王箏 一般的，如果A是乙...
自然數和實數一樣多嗎？
不考慮無窮還證明啥，迴圈小數用你的方法對映出來的都是往左無限延伸的東西，更別說無理數，超越數，這些算數麼，算乙個還是多個。 湖山居士 這要看一樣多怎麼定義了。自然數和實數，首先是集合，要遵循的是集合的從屬關係。從集合上來說，自然數是實數的子集。集合之間的等價關係，顯然從定義上就不適用題主所說的列舉法...