1樓：洪武ea
先明確一下，預設的是碳數任意大，但碳數不可以取無窮大哈…就像冪級數環和形式冪級數環的關係一樣。
構造集合
把化合物視作連通圖，原子的區分視為頂點染色，重鍵視為邊染色，就得到了全體化合物集合到上述可數集的單射。由於碳數也是無限，所以它們都是等勢的
然而這種構造還是有問題的，首先硼烷這種玩意兒一般不能用價鍵式很好的寫出來(不過應該也有辦法確定出到上述集合的單射)，此外視為連通圖忽視了立體異構，如果假設每種鍵連方法對應著有限種立體異構，那上面的證明也可以再多乘個 搞定…
其實如果進一步假設化學反應只有有限種物質參與的話，化學反應也和烷烴一樣多
2樓：
題主把問題描述改為碳原子數可以任意大更好。
可以（以下認為所有鍵都是兩個原子間形成的，不考慮大π鍵）。先以問題3為例。
首先，我們只考慮碳原子。我們假定每乙個碳原子是不同的。如果只有乙個碳原子，有0個碳碳單鍵。
如果只有兩個碳原子，有1個碳碳單鍵。如果只有n個碳原子，假如所以碳原子都成鍵，有 = 個碳碳單鍵（當然，對絕大多數n是不可能所有碳原子都成鍵的）。
這樣子，n個碳原子的飽和烴的數量不超過 種。
然後我們給出一種自然數和飽和烴的對應關係。1對應甲烷，2對應乙烷，3對應丙烷，4對應環丙烷........從碳原子數由少到多排列。
現在，按這種對應關係，我們可以給任意乙個自然數找到乙個對應的飽和烴。對於任意乙個飽和烴，我們可以從前 個自然數中找到對應的自然數。
也就是說，我們找到了自然數和飽和烴的一種對應關係，自然數與飽和烴一樣多。
對於第乙個問題，現在只需證烴數量和自然數一樣多。
考慮到每個碳最多成三個鍵，只需將上面證明中 換為 ，其餘證明類似。
第二個問題，考慮到能形成有機物的元素是有限的（為方便說明，我們認為只有碳、氧、氮、氫能形成有機物）依然可以忽略氫。
現將有機物按以下順序排列：
乙個碳兩個碳，一碳一氧，一碳一氮
三個碳，二碳一氧，二碳一氮，一碳兩氧，一碳一氧一氮，一碳兩氮
和上面一樣，每種情況可以給定乙個（非常粗略的）上界。
當然，有很多情況沒有有機物。不過，仿照之前的方法，就可以證明了。
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