1樓：ljh25252
別的答案都寫得特別好，我就來個狗尾續貂好了。
一、準備工作
如上圖,自第二行起，遵循如下規則:
1.每行第乙個數都為 。
2.每行第 個數為其兩肩上的數之和的 倍。
如， 。
3.若右肩沒有數則視作 。
如， 。
二、解決問題
不管你知不知道，反正就是易知的易知：
故，由上表的第 行可知 ,故，
實際上， 的係數即為第 行的係數，
如，證明略。
2樓：Lawe
數形結合走一波
從 1 加到 n 大小的立方體可以採用奇偶交替變化填充的方式填滿一張從 1 加到 n 為邊長，厚度為 1 的正方形平面
渣渣畫圖湊合看一下，大概意思就是這樣
於是 1+2+3+...+n ＝ (1+2+3+....+n) = n (n+1)/4
3樓：Lamma
設數列,an=n^3 Sn為其前n項和
2Sn= (n+1)(2Σm^2-Σk(n+1-k))=(n+1)(1/6)[n(n+1)(4n+2)-n(n+1)(n+2)]
=n^2(n+1)^2/2
其中求和號中m、k均從1到n
Sn = n^2(n+1)^2/4
其中，自然數平方和的推導，對(n+1)^3-n^3求和處理即可，後式利用多項式的二次減去各項平方可求。
4樓：自學生
（1+1…+1+…1+1+1…=一對同時存在自然法則9個+和10個1）的（1+10+100+1000…=1111…）的（10/3*3=10）的正反和正中人工智慧時代的生命能量感覺時間統一自然規律原理模型。（證明過程請看《大自然的正反規律》吧）
5樓：托馬斯維德
可以通過差分的方法進行
bn=(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1對bn求和只要知道n^2的連加 n的連加和1的連加即可推出n^3的連加和
同理也可以做n^4的連加和
6樓：楊梅12138
我的證明過程，用到了二項式定理。
要證明這個等式，我們不妨先從一次看起。
對於這個式子，我們記
首先考慮：
移項後可以得到
這個等式是恆成立的，那麼我們不妨令 ，順次可以寫出當我們把等號左邊和等號右邊同時相加，就可以得到所以。
同理，接下來我們看二次的平方和，我們記
利用二項式定理或楊輝三角，我們可以得到
所以那麼
左右同時相加得到
所以由此我們繼續推導，記考慮即
依然是順次 寫出多個等式，最後相加，然後就可以得到最終的結果，也即。同理，利用二項式定理，可以推導出連續正整數的 次方和。
7樓：Observer
我覺得數學歸納法蠻好的。
很明顯，當n=1,左邊=右邊=1。
設當n=b成立，
則 若n=b成立，則：
要證n=b+1時成立，則要證明：
即：因為 ,兩邊同時約掉 :
即：很明顯左邊=右邊，
綜上，當n=1時公式成立，且如果設當n=k成立，能證出n=k+1時公式成立。
所以原求和公式成立。
如有錯誤請指出。
8樓：電渺陶琅
設 ， ，顯然成立
兩邊求導得 ，於是
因為，而 ，所以
兩邊同時積分再移項，得 。 不確定，不妨設為常數 ，通過 這一方程來確定。（後面會看出，這個常數就是伯努利數）
這就得到了求 的遞推公式，不妨測試一下：
; ，故 ，則 ;
（ ）；
（ ）；
只要需要，就可以輕鬆地手工推算出任意次數的求和公式。
9樓：雲山亂
Discrete calculus有求這個公式的特別優雅的方法http://
homepages.math.uic.edu/~kauffman/DCalc.pdf
10樓：砂雪
考慮乙個這樣的立體圖形：
從上往下第一層的體積是
第二層的體積是
第三層的體積是
定義 所以整個圖形的體積
移項，得解得
11樓：關鍵人物不宜透露
我來提供個幾何的想法吧，暫時想象的話主要只能到三階，當然足夠猜想拓展了。核心也是降階。
我們先從二階推起。
1.想象乙個 的正方形
2.想象乙個邊貼邊的 的正方形
3.想想怎麼增減可以由1到2
我個人覺得最好的乙個想法是：
知乎不能放圖，想罵街，麻煩大家想象一下了
這種方法，是兩條未貼合的線段分別往外壘了兩個長條，然後除去多的一格，故 ，累加即得 。這裡把二階的求和通過幾何模型降階，在求和時只需用到一階。
再看三階吧。
1.想象乙個 的立方體
2.想象乙個邊貼邊的 的正方形
3.直接來吧， ，三個未貼合的面補了三個壘塊，砍掉三條邊，再補回那乙個角。
好了， ，累加即得
當然了，我們已經可以進行歸納猜想了。觀察先前表示式，我們可知 次方時有
(1)為猜想，(2)(3)為檢查，發現無誤。我們推導時可以通過(1)式實現講次。本質上的話這是二項式展開項的割裂組合，核心是降階。
好吧，寫了這麼多，也繞不開二項式定理、楊輝三角一類。=^= 不過還是很有意思的，高階物體的拓展，平面三角形的拓展，二項式，有著這麼大的勾連。
道生一，一生二，二生三，三生萬物。萬物負陰而抱陽，沖氣以為和。
12樓：靈劍
有一種多項式很好求和，即組合數，C(k,k) + C(k+1,kC(n,k) = C(n+1,k+1)，證明只需要將C(k,k)改寫為C(k+1,k+1)即可
考慮到C(n,3) = n(n-1)(n-2)/6 = n^3/6 - n^2/2 + n/3 = n^3/6 - C(n,2) - C(n,1) / 6，即
n^3 = 6C(n,3) + 6C(n,2) + C(n,1) = 6C(n+1,3) + C(n,1)
兩邊同時求和就有
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = 6C(n+2,4) + C(n+1,2)
= (n+2)(n+1)(n-1)n/4 + (n+1)n/2
= (n+1)^2 n^2/4
13樓：Hmnsker
如果只是證明，顯然從右往左證明會簡單很多。
假設右邊為某個數列的前 項和：
做個差就有：
即為數列 的前 項和，則可。
當然，順著也有普遍的遞推的方法。使用生成方式：
得到從而
帶入已知的一次和二次方和即可反解得到...
其實如果發現接受規律為： 次方 項和為 的次的多項式。即直接求前 項然後解方程求係數也不是不可以......
14樓：歐陽珈櫻
這類問題知乎上已經有很多回答...
給你個鏈結自己看吧
Sum of n, n, or n | Brilliant Math & Science Wiki
力薦冰河姐姐寫的這個回答( ` )σ
神琦冰河：我知道 ∑n，∑n，∑n 的結果，那是否能夠求出 ∑n^k（k 為正整數）的一般形式通項公式？
15樓：心平氣和
證明的話，歸納即可。顯然在n=1的時候等號成立，假設在n=k時候等號成立，證明n=k+1時等號也成立即可。
如果要找出這個求和公式，可以參照LZH大佬的方法
16樓：rossetta
正常思路是公升階，即以4次多項式求3次多項式的和，比如這位的答案：
請問有沒有什麼比較巧妙的方法證明這個求和公式？ - 楊梅12138的回答 - 知乎
請問有沒有什麼比較巧妙的方法證明這個求和公式？
還有一位直接「證明」的方法（提問人的本意應是「求出」這個公式）：
請問有沒有什麼比較巧妙的方法證明這個求和公式？ - Aries的回答 - 知乎
請問有沒有什麼比較巧妙的方法證明這個求和公式？
下面正文
考慮自然數的3次冪和，因其特殊性，可以降階。
由 ：得 ：
由 ：得 ：
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