1樓：
(0,1)是乙個完全集（perfect set），完全集不可數，而自然數可數。完全集指的是集合內任何乙個點都是這個集合的極限點。證明思路和康托對角法其實一樣
2樓：奔跑的肉球
首先，power set of N（所有自然數的子集）這個集是比自然數大的，不能找到一一對應。（實際上任何集合的power set都比它本身大）
這個證明就是建立乙個（0，1）到這個power set of N的一一對應
首先我們把每乙個0到1之間的數都寫成二進位制的，也就是x = 0.d1d2d3d4...，d_i=0或1
然後，對每乙個x，我們都可以用以下方法找出乙個集S：如果d1=1，那麼1就在S裡面，如果d1=0，那麼1就不在S裡面；如果d2=1，那麼2就在S裡面，如果d2=0，那麼2就不在S裡面，以此類推。
易證，這個函式（map）是一一對應的。
也就是說，（0，1）和這個power set of N是一樣大的，也就比自然數大。
3樓：
無窮多分兩類:一類是可數(列)無窮多，例如N，Q，另一類是不可數(列)無窮多，例如R。N離散Q稠密R連續。
集合論，實變函式這類大學本科數學專業的專業課會講這些。集合的勢或基數(power)不同。阿列夫0，阿列夫1。
還有連續統。2的阿列夫0次方=阿列夫1。一一對應(雙射)意義上的等價(等勢)。
積分，測度，概率論中也會有類似的應用，0測集。你弄懂阿列夫0，阿列夫1，就懂它們間的本質區別了。
4樓：羅宸
感覺題目被改過了，因為如果題主已經知道用 「和自然數建立一一對映」 這樣的語言了的話，是不大可能不知道對角線法的...
簡單的說，假如存在乙個這樣的一一對映，不妨設為f，你就可以用這個f把0至1（不包含）的小數乙個個編號列出來（每個小數x給它分配乙個自然數f(x)作為編號）得到乙個列表L（當然這個列表不會終止）。如果你列出來了，你就可以構造乙個y，y的第i位和列表裡第i個小數的第i位不一樣，這樣構造出來的y和列表裡任何一項不等（因為至少有一位不一樣）所以y不在列表中，這就和之前的假設「f是一一對映」矛盾了……
當然我不知道以上有沒有回答題主的「如何找到乙個無法與自然數一一對映的實數」這個問題，因為我（或者說對角線法）並沒有真的找到乙個這樣的數，而是在假設存在乙個一一對映f的前提下，找到了乙個y……
我不知道我有沒有說清這兩個命題的區別……
題主要的是：
存在y，對任意f（f是小數到自然數的一一對映），f(y) = undefined
而我給的是：
若存在f（f是小數到自然數的一一對映），則存在y，f(y) = undefined
當然題主要的命題也沒錯啦，只是我隨便拿乙個小數都可以搪塞題主啦，因為如果題主要反駁我，至少要給乙個f出來啦，而這樣的f並不存在啦，所以前提根本不可能滿足，於是就是 undefined infers anything啦……
5樓：柯西
不是這麼說，任何實數都可以對應到自然數，但是取定一種對應法則以後，總是有剩下的。把0到1分成三個閉區間（交界共享），則存在乙個區間不能和1對應，對這個區間，同樣三等分，有乙個區間不和2對應，對該區間一樣處理，一直下去得到乙個閉區間的套，那麼由0到1區間的完備性（其實這才是實數不同於其他數的性質），有乙個數在所有這些套中間，也就不能對應到任何乙個自然數。
6樓：三行腳印
一一對應是不可能的，因為自然數集是可數的，或者說可列出的，;而0~1間的實數組成的集合是不可數的，簡單說就是不可列出的;你的第二個問題是錯誤的，因為兩個集合間不存在一一對應，問題無意義。
7樓：Richard Xu
這是用康托對角線法證明實數集和自然數集不等勢。
反設兩者等勢，那麼我們可以將0~1之間的小數像這樣列成一張表。
然後我們找乙個小數，它的小數點後第一位和表中第乙個小數的小數點後第一位不同，第二位和第二個的第二位不同……第N位和第N個小數的第N位不同……直至無窮，因此它不被包含在這張表中，矛盾。
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hhh 正整數指的是1，2，3，4，5 那類的數 自然數包括0和正整數。整數包括負整數，0，正整數。整數就是指 3 2 1 0 1 2 3 那類的數。不是自然數的整數是負整數，指 1 2 3 那類的數。有理數就是能寫成兩整數之比的數。有理數包括整數和分數，分數就是指不是整數的有理數，所有有限小數和無...
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wxzhrs 搞不明白不可數問題很正常，題主搞不明白不可數問題還自稱學過數學分析就很厲害了.這比不可數問題厲害多了.至於題目裡的證明，乙個自然數翻轉過來必定是乙個有理數，不能對應到 0,1 中的實數.看過數學分析嗎？這麼厲害的題主居然匿名了，還指望題主能拿個諾貝爾數學獎呢.真是遺憾. ShTM 讓 ...