1樓：KASI優選
為了方便起見, 我們考慮的自然數不包括0(引用潘承洞教授和潘承彪教授所著《初等數論》上的一句話, 「因為0是乙個很不自然的數」; 總之在這裡, 0對求和沒有影響).
很明顯, 這個問題在於你如何計算所有自然數的和. 如果是有限個數, 例如1, 2, 3, 4, 5, 它們的和我們是會求的, 是15. 甚至1到n的自然數的和我們都有公式, 即
. 那麼所有自然數的和怎麼算呢? 先不管怎麼算, 就結果而言, 肯定很多人會說是無窮大.
-1/12自然不是無窮大, 所以所有自然數的和不等於-1/12. 這就回答了開頭了問題. 但是, 如果就在這裡結束了, 那我也沒必要寫這篇文章了.
我這裡想說的是」怎麼算」的問題, 也就是說, 我們應該」怎麼算」所有自然數的和. 或者更一般的, 無窮個(實)數的和怎麼算? 知道了」怎麼算」, 我們才能知道所有自然數的和在什麼情況下會等於-1/12, 即為什麼不是-1/13或是其他的什麼數, 偏偏是-1/12呢?
我們怎麼計算無窮個數的和? 先想一想如何算有限個數的和. 1+2+3+4+5, 乙個很自然的想法就是, 先算1+2, =3, 再算3+3, =6, 再算6+4, 等於10, 最後算10+5, =15.
所以1+2+3+4+5=15. 那麼對於無窮個數的和, 我們也利用這樣的想法. 看兩個例子.
1/2+1/4+1/8+1/16+...=?
1/2+1/4=3/4
3/4+1/8=7/8
7/8+1/16=15/16
15/16+1/32=31/32
…1+2+3+4+5+…=?
1+2=3
3+3=6
4+6=10
10+5=15
…有限個數相加, 總是會有乙個最後一步, 做完這一步之後就得到了答案; 但是無限個數相加, 不存在最後一步, 到天荒地老你也加不完. 但是如果你觀察這兩個無窮的例子, 就會發現: 第乙個例子中, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, …這些數都小於1, 並且不斷地在向1靠近; 第二個例子中, 3, 6, 10, 15, …這些數越來越大, 沒有止境.
順著這個角度繼續深入, 就自然地引出了極限的概念.
乙個無窮序列, 如果存在實數A, 滿足對於任意ε>0, 都存在N, 使得只要n>N, |a_n-A|<ε均成立, 則稱的極限是A. 如果這樣的A不存在, 那就說極限不存在. 什麼意思呢?
就是說, 這個數列的項, 只要充分往後面走, 那麼它與A的距離就會非常小, 以至於不管你取多小的誤差ε, 我都能找到乙個指標N, 第N項以後的a_n都在這個誤差以內. 這是數列的極限的定義. 有時候為了方便, 我們也會說某個數列的極限是(正)無窮.
這個意思是說, 對於任意M, 都存在N, 只要n>N, a_n>M均成立. 什麼是正無窮, 就是你任意說乙個(實)數, 正無窮都會比你說的這個數要大; 所以極限是正無窮的意思就是, 隨便你說乙個數(M), 只要我的項數足夠靠後(n>N), 那麼a_n就都會比你的M大. 對於負無窮的情況也是類似的.
對於無窮個數的和(稱為無窮級數), 我們只要稍微改一改, 就能用極限來說明和是否存在了. 為此, 我們考慮部分和序列, 其中S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n. 比如說上面的第乙個例子, S_1=1/2, S_2=3/4, S_3=7/8, …; 第二個例子, S_1=1, S_2=3, S_3=6, S_4=10, …如果乙個無窮級數的部分和序列有極限, 那麼就說這個無窮級數收斂到該極限, 否則就說該無窮級數不收斂, 或稱為發散.
所以1/2+1/4+1/8+1/16+...收斂到1, 而1+2+3+4+5+…發散.
這樣, 我們就從數學的角度嚴格地說明了所有自然數的和不存在, 或者說和是無窮(因為部分和序列趨於無窮).
那麼, 現在還剩下乙個問題, 這個-1/12是怎麼來的呢?
這要從黎曼ζ函式說起. 我們考慮這個級數,
在數學上可以證明, 只要x>1, 該級數就收斂. 因此, 每給定乙個大於1的x的值, 級數就會收斂到某乙個值. 因此這就定義了乙個關於x的函式f(x).
它的定義域是x>1. 這是實數的情況. 那我如果允許x取復數值呢?
這時我們用z來記. 數學上可以證明, 只要z的實部大於1,
就收斂(到乙個複數). 因此我們將f(x)擴充到了半個復平面上, 變成了
我們很清楚它在|x|<1時收斂, 並且和函式為g(x)=1/(1-x). 另一方面, 對於
, 我們也很清楚它是發散的, 因為它的部分和序列會在0和1之間跳躍, 不存在極限. 但是, 你如果去算g(-1), 你會發現它是1/2. 那麼我們能不能說1-1+1-1+1-1+…=1/2呢?
當然不能. 但是在某種意義下, 我們也可以說是1/2. 這就涉及到對於無窮級數的不同的收斂規則了.
上面介紹的是最經典的級數收斂定義, 出於各種應用, 也還有別的收斂規則. 例如一種叫Cesàro summation的收斂規則, 在這個規則下, 1-1+1-1+1-1+…就等於1/2. 而上面介紹的所有自然數的和, 在Ramanujan summation的規則下, 就會收斂到-1/12.
有趣的一點是, Ramanujan原稿中的求和方法並不嚴格, 你要是換一種方法還能算出來別的數。
2樓：奧術構造體
有些人提到了解析延拓的唯一性定理，提一句：
如果兩個全純函式取等值的點在定義域內部有聚點，則這兩個函式在這個定義域的連通分支上全等
所以，只要你想把Σ1/n^s延拓成全（亞）純函式，它一定是唯一的，因為它們要在大於1的實軸上相等
3樓：羅化生
看了下提問者的描述，顯然提問者不懂什麼叫做解析延拓
全體自然數之和等於-1/12，確實與定義域有關，但是這裡的定義域是整個復平面。
也沒有什麼基本延拓，高階延拓，就是普通的延拓。
簡單解釋一下，解析延拓是定義乙個函式等價於乙個在更大的範圍內解析的函式
全體自然數之和一般意義下（假定這個函式為f1(s)）是發散的，等於無窮大，但是有另乙個函式它f2(s)它與f1(s)在後者的解析域中相等，但是前者在後者發散的域中也解析，那麼就稱前者為後者的解析延拓。
在解析數論中這一點很重要，因為解析數論的關鍵是計算zata函式相關的乙個函式的積分。
要計算這個積分我們知道復變函式裡的積分一般要用乙個圍道，計算這個圍道中的積分我們知道只需要計算留數即可。
素數定理的最基本成立條件是zeta(s)當s=1+ti的時候不等於0，這意味著可以圍乙個圍道把s=1這條直線圍進去，然後在這條圍道上有乙個極點，即s=1
正是這個極點的留數給出了素數定理的主值li(x)
如果不能進行解析延拓，那麼上述的積分過程就進行不了。
4樓：暮無井見鈴
說難聽點就是道聽途說，聽到乙個有點新奇的結論就不加思索地抄下來。
「全體自然數的和」這種說法就不對，它隱含了不考慮順序。但只有絕對收斂級數的柯西和才能進行任意交換，「全體自然數」顯然不是這種情況。求和法的不斷擴充套件是會逐步帶來不同性質的。
就算是通常沒有爭議的柯西和，也有「乙個域的元素序列的柯西和可以不在該域中」這種和有限項和不一樣的屬性。
5樓：Mephisto
物理上是怎麼遇見這種計算需求的，我就不清楚了。數學上，這純粹就是函式解析延拓。
舉乙個很簡單的例子。約定 很明顯 無定義。然後這樣解析延拓 然後就有 。但是有「好事者」會到處說 然後又引發疑問，為什麼 可以做除數了？
自變數的不同取值可能會有不同的計算規則。
有些人胡鬧地硬套規則鬧出這樣的笑話。
舉乙個很典型的例子，指數函式 。這本來是乘法運算的公升級，當 時，大家都知道是 個 相乘。接著把指數擴充到複數，然後就有 ，然後又有「好事者」到處說 個 相乘等於 ，你 TM 給我翻譯翻譯什麼叫做「 個」！
指數範圍擴充了，但是 個 相乘的規則並非總能套用，又是硬套帶來的笑話。
最後看看 zeta 函式 這個函式僅在 1" eeimg="1"/>時有定義，即 是無定義的。但是在某種解析延拓之下就有
然後又雙叒叕有「好事者」把 1" eeimg="1"/>時的計算規則硬套在 時，就有「全體自然數之和等於-1/12」的說法。其實，不懂就不懂，為什麼喜歡把斜體字內容當做炫耀的談資呢？
6樓：姜天浩
首先，數學家們用非常多種方法，有嚴謹的不嚴謹的，初等的高等的（從小學交的錯位相消（我知道它很扯淡）到解析延拓），對於很多無極限的無限求和式給出了完全一樣的結果，並且幾乎沒有方法能給出不一樣的結果。這種「巧合」會令每乙個學數學的人思考其中是否有仍未發現的內在聯絡，會不會這個結果就是這個求和式類似於有極限求和式的極限一樣的乙個特定的性質，是具有獨特地位的。於是數學家們用非常嚴謹的方法定義出了這個特定的數「和」，並將其認為是與有極限求和式的「和」可以視為同一種東西，因為其滿足保持良好的運算法則、保持解析性質等分析中幾乎是最「好」的性質，並且在一定程度上符合直覺。
但是值得說明的是，這個「和」在其被創造出來後，直到20世紀末，幾乎都沒有在大型研究上起到過重要作用，一般來說其能推理出的性質都是與其本身相關的，即使人們可以用其處理一些數列的性質方面的問題，但往往並不會顯得比其他方法簡便太多（畢竟用乙個數刻畫乙個數列缺失的資訊太多了）。因此在很長一段時間，它給人們的感覺更像乙個「玩具」而非「工具」，直到近些年物理的快速發展才證明了很多數學家一直堅信的信條：「任何數學上的「巧合」都是有意義的」。
要知道，前延物理的發展中，有乙隻很大的攔路虎，叫作虛粒子的重整化，在忽略量子效應的情況下，其可以近似為乙個數列的求和，而這個數列，往往是發散的（如果接觸過物理競賽的人可以感受一下如果乙個無限電像法的題，每個電像產生的電場疊加求和後發散的感覺）。在同樣很長一段時間中，物理學家們並不會處理這個求和式，直到粒子層面的實驗和觀測可以大量進行的時候，人們才發現觀測的結論資料匯出：這些無極限求和式的「和」可以直接當成有極限求和式的「和」來代入使用，從而推出完全正確的物理結論。
至此，這個「和」才開始真正大幅度發揮它「工具」的作用。
說了這麼多，想說明的是，這個定義在數學上的引入是有原因且一定條件下合理的，在物理上是有作用的，而且現代的數學家們都承認我們對其的解讀仍是不完善的，其仍可能在更多的基礎數學和物理方面有所建樹。因此我認為承認其是乙個等式是合理的，雖然不一定要這麼做，但是這個等號既然沒有更好的定義可以與之爭奪，那讓給它又何妨呢？至於為什麼用「等於」這種可能誤導初學者的用詞，從使用效果來看，多半是為了說明其和有極限求和式的「和」的統一性。
至於題主提出的質疑，我認為同樣是合理的，如果作用僅限於此（目前大眾所能理解的），想必這個定義也不是完全必要，終究是仁者見仁智者見智。但我仍然認為，這個等式是有未來的，至於未來能起到什麼作用，那誰也說不清楚。
自然數 正整數 整數 有理數 實數 複數之間有什麼關係？
hhh 正整數指的是1，2，3，4，5 那類的數 自然數包括0和正整數。整數包括負整數，0，正整數。整數就是指 3 2 1 0 1 2 3 那類的數。不是自然數的整數是負整數，指 1 2 3 那類的數。有理數就是能寫成兩整數之比的數。有理數包括整數和分數，分數就是指不是整數的有理數，所有有限小數和無...
自然數定義有什麼具體的實踐意義？請舉例？
supersarah 我覺得這個問題的回答，可能會指向哲學層面.或者說，不是我們怎麼選更好，而是我們寧願怎麼選的問題 說人話，就是這問題我沒法實證地去回答.我只能說，我是這麼去理解的 物理是認識世界的科學，而數學是自然的語言.物理學靠實證來檢驗自己走過的路.而數學主要靠自身的內在邏輯來 準直 比如說...
為什麼總是有那麼多人認為自己看透了人生？
豬兒笨笨 雖然我偶爾也會扯這種鬼話，但這句話確實比較鬼扯。不排除極少數人，如賈伯斯或者叔本華之類的人物看透人生，但我們生活中的眾人是不可能真正看透的。所謂的看透更多只是一種無力的自我安慰，如果不信的話，可以直接問他，如果現在你有乙個億，你想過怎樣的人生。 之乎 其實他說的也很對，不過不全面，他只是區...