1樓：Tridu
你看能不能這麼理解:
線代求解的是xn一堆常數;
微分方程求解的是約束條件足夠唯一確定y(x)時，y(x)表示式並因此得到y高階導數;
變分是求解約束條件不夠唯一確定，但是滿足目標極值下可以加個拉格朗日等式，然後約束夠了，能求出來變分極值的表示式y(x)。
一些說法中「變分是函式的函式」，其實應該是在說「變分最大的特點是:數值I極值是y(x)函式的值對映函式」
其實我覺得這個老師講得很好:https://b23.tv/ViIfOg
2樓：明哲
簡單說——
泛函：數字的集合是矩陣，函式的集合是泛函，泛函就是把一堆函式放在一起。
泛函的極值：對於，泛函來說，一堆函式中有乙個的最優的（最有利於解決問題的），例如在曲面上無數條曲線求最近的那條。
變分法：一種求泛函極值的方法。
當然，這只是思想上的，推導和應用還要看尤拉拉格朗日方程。
3樓：微塵-黃含馳
引子源頭問題與當今應用
變分法基本原理
變分問題求解方法過去遇到的問題——求函式極值，但有時我們需要對自變數也是函式的特殊函式求極值。
這種特殊函式即「函式的函式」，稱為泛函，求泛函的極值問題稱為變分問題。
變分法：求這類部分問題的方法。
2.1最速降線問題
設A和B是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點，在所有連線A和B的平面曲線中，求出一條曲線，使僅受重力作用且初速度為零的質點從A點到B點沿這條曲線運動時所需時間最短。
與通常的極值問題不同，該問題要求尋找一條曲線（未知函式）來滿足問題條件。
這類問題十分新穎，引起廣泛數學物理學家注意。洛必達、雅各布伯努利、牛頓都得到了解答，後來尤拉、拉格朗日建立了這一問題的普遍解法，從而建立了乙個新穎的數學分支——變分學。
2.2最小旋轉面問題
在平面上連線兩點的光滑曲線中，求把它繞x軸旋轉所得曲面面積為最小的一條曲線。
2.3懸索形狀問題
固定項鍊的兩端在重力場中自然下垂，它的曲線方程將是什麼樣子。
2.4費馬原理
2.5測地線
2.6極小曲面問題
2.6等周問題
求泛函極值問題要應用變分最值原理或動態規劃。
變分法的關鍵定理是尤拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函式的極大和極小值時，在乙個解附近的微小變化的分析給出一階的乙個近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強有力工具。
它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有，黎曼在調和函式中使用狄利克雷原理。
同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，莫爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。
例：推導弦的自由振動方程（設弦兩端點固定）
①變分命題及引入變分法的採用記號
第一類變分問題泛函的變分為：
②變分法基本預備定理
③變分問題的尤拉方程
由此把變分問題轉化為微分方程求解
4.1最短連線問題
由變分法預備定理，給出以下微分方程
4.2最速降線問題
由伯努利於310多年前以公開信的形式提出
問題描述：
設有兩點A、B不在同意鉛垂線上，在A、B兩點間連線一條曲線，有一重物沿去曲線從A到B受重力作用自由下滑。若忽略摩擦力，問怎樣的曲線使得從 A到B的自由下滑時間最短？
（該曲線被稱為最速降線 ）
z 變分命題描述
這是一組擺線（圓滾線）簇，以C/2為滾圓半徑，常數 C是由圓滾線通過點 P (x1,x 2 )這個條件來決定。因此，擺線就是最速降線。
泛函變分問題的一般求解步驟
1. 從物理上建立泛函及其條件
2. 通過泛函變分，利用變分法基本預備定理求得尤拉方程
3. 在邊界條件下求解尤拉方程，即微分方程求解
4.3帶約束的極值問題
以二維情況為例：研究函式f(x 1,x 2 ) 在 (x 1,x 2 ) 受約束條件 g (x 1,x 2 ) ＝ 0的限制下的極值問題
z 以幾何的角度解釋，存在兩種情況
如果曲線 g (x 1,x 2 ) ＝ 0不通過 f 的極小點 Q，但和曲線 f=C 1相切於 P點，則 P點為 g (x 1,x 2 ) ＝ 0 上 f 值最小點。
曲線f=C 1 在 P點的法向量和曲線 g (x 1,x 2 ) ＝ 0 在 P 點的法向量平行，即：
與 g (x 1,x 2 ) ＝ 0一起有三個方程求解三個未知數 x 1 P x 2 P 和 λ，這樣就求得了帶約束的極值問題解
一般化（化有約束為無約束）
4樓：「已登出」
焋癶乚：變分法
我自己寫的文章（特別菜）
有乙個泛函（泛函就是函式的函式） （怎麼在字母上加點啊，我只好加撇了）
某乙個 能使得它取到最小值
下面我們匯出這樣的 滿足的方程
ok，我們開始計(zuo)算(si)
它相當於是把乙個由 畫成的彈性線（線可以伸長）在A、B兩點釘住，然後我稍微把線拉一拉，得到了
接下來，泛函最小也就是
也就是對於 這個函式，我們進行泰勒展開（我比較懶就展開到一階吧）於是 我們先不管
對於 有
注意到 上式右式左端為
故 利用一階微分形式不變性
從而再帶到原來的式子中
得 由 的任意性（ ）
得到Euler-Lagrange方程
5樓：zhangjindong
從普通函式和泛函式求極值的角度理解泛函和變分:
第一，函式和泛函式定義不同
(1)普通函式:自變數是數值
(2)泛函式:自變數是函式，即函式的函式叫泛函式。
第二，求得極值的條件不同
(1)普通函式求得極值的條件是:滿足函式的二次導數為0。
(2)泛函式求得極值的條件是:滿足尤拉-拉格朗日方程，該方程是有變分法求出的。
第三，求解的目標不同
(1)，普通函式求解極值的目標是:某個自變數的極大或極小數函式值。
(2)，泛函式求解的極值目標是:某個定義域上的極值函式。而極值函式往往就是物理定律，因為自然法則是按照極值的方式構建的，如牛頓運動第二定律就可以用變分法求泛函式的極值函式中推導出來。
第四，變分法與諾特定律
數學家諾特從變分法出發推導出了著名的諾特定律，揭示了物理守恆定律與幾何對稱的深刻聯絡，發現了愛因斯坦廣義相對論數學方程隱藏的守恆定律，而守恆定律是現代科學的核心觀念，所以從理論上證明了廣義相對論正確性。
6樓：純屬娛樂
樓上說的最速曲線可以說是泛函、變分的起源。後兩者就是為了解決最速曲線的存在而出現的。
假設AB兩點中有無數條曲線，設其為A(x)，其中x是對t的函式x(t),那麼要想t最小最簡單的辦法就是想函式那樣求極值（更多為駐值），那麼對A(x)求t的微分即可，某dalao就稱其為變分，誰提出的（最速曲線）誰解決的（泛函、變分）誰當然有命名權啦~！
泛函的定義域為乙個無限維的空間：曲線的空間。
泛函的增量的線性部分稱為其微分。泛函的微分又稱其為變分，其中微變數h（δq）稱為曲線的變分。
經典力學的數學方法》
簡單的說，泛函是一種特殊函式，其定義域為函式f(x)，值域一般為實數，正常的函式（值->值）到值的對映，而變分即泛函的微分中（注意不是導數）捨去了無窮小項O（h^2）的剩餘線性部分項。
7樓：
簡單來說，泛函是從賦範線性空間到數空間的對映。
舉個例子，乙個給定區間上的可積函式的定積分運算就是這一類函式到實數空間的泛函。
而泛函變分類似於函式微分，是指當函式發生小量變化時對應的數值發生的變化，對應到上面就是可積函式加上乙個微小函式後引發的積分值變化。
類似於微分對應著函式極值，變分對應著泛函極值，因此常常用來解決一些對應著某一物理量極值的物理量分布問題，如：光的傳播（最短路徑），懸鏈線（最小勢能），最小曲面問題，量子力學的路徑積分等。分析力學也正是基於這種思想建立起來的。
8樓：Zheng Jiansen
變分與微分是有區別的，簡而言之：
微分是變分乙個解。微分主要是針對乙個特定的座標系，而變分是針對廣義的座標系。 變分是微分的計算方式相同。
都是用求導的方式。表達形式不同，變分用δ表示，而微分是d表示。 實際的物理意義不同，d表示「真實」，δ表示「可能」。
9樓：鍾典
函式double fun(double x, params double otherParams)
泛函Double Gfun(funDelegate param)
10樓：tianyikillua
先統一口徑，我現在說「對映」為一般的集合與集合間的一種函式定義關係。設對映 ，那麼若 和 ，我們肯定有 ，因為這是乙個對映（函式）。理解乙個對映，只需要理解它是怎麼作用在輸入上的，即知道給定乙個輸入 ，它的輸入 是什麼。
記號 表示泛函的定義域是 ，輸出域是 ，給定乙個輸入 ，會得到結果 。
一般來說，我們把定義域為數（實數、整數...）的對映叫做函式；而把定義域為函式的對映叫做泛函。
舉個例子，對映 可以看作是定義在 上的函式，給定乙個輸入實數 ，得到乙個結果 。
相反，給定某實數 ，對映 可以看作定義在連續函式上的乙個泛函，作用在乙個連續函式 上，得到這個函式在 點的值，這個泛函可以叫做 function evaluation at ，即函式在 點的取值泛函。
既然我們已經統一了，將你所謂的函式和泛函統一成了乙個一般的對映概念，之後對這個對映進行微分計算也可以統一。但我就不講了。這裡空白的地方太小，寫不下。
11樓：
f作為空間X到實數集R的的對映
f的變分（或者叫做Banach空間裡的微分）就是f增量的差當X就是R的時候，也就成了通常的微分
換句話說，把歐氏空間裡的微分看做Banach空間的微分（像集是數域時就叫變分）的特殊情況
12樓：qfzklm
變分跟微分差不多。不過作用物件不一樣。
函式是從乙個集合到另乙個集合的對映，函式的著眼點在於點和點的對應，微分關係也即定義域中的點的變化如何決定值域中點的變化。
泛函則著眼於從乙個集合到另乙個集合的所有對映組成的集合，並考慮這個對映關係和乙個目標泛函的對應，更注重不同的對映之間的關係，變分關係也即對映的變化如何決定了目標泛函的變化。
簡單來說，泛函即是函式的函式，變分作用在函式上，微分則作用在定義域上。
你是怎麼理解搖滾的，他是一種精神，或僅是一種曲風？
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給 89 分強行不給4的老師是一種怎麼樣的存在？
學校要求成績成正態分佈，高分段有百分比。比如我們學校，九十分段不超過15 一般來說高分段一定是班上前幾名。至於89,88啥的，老師的意思就是 雖然這個孩子成績不怎麼樣，但是平時學習挺努力的，給個好看的分數鼓勵一下吧。 大概說的就是我了吧 前提 普通一本目標是想出國 gpa有多重要不用我說了吧 本人專...