1樓：
補充一點點。給定乙個曲面S。K(x)為S上的連續函式，我們感興趣的乙個問題是:
什麼樣的K(x)可以做為S的高斯曲率。這個問題也叫預定高斯曲率問題。Kazdan-Warner的文章對這一問題進行了解答。
特別的對於你的問題也有解答。
2樓：飲冰
是的。三維歐氏空間內的閉曲面一定有乙個點處高斯曲率大於零。考慮乙個以原點為球心半徑足夠大的球面，把這個閉曲麵包起來，然後再收縮半徑，收縮到球面剛好和閉曲面某一點相切時，這一點處閉曲面的高斯曲率就是正的而且不小於現在這個球面的高斯曲率(見彭家貴老師的《微分幾何講義》或者J.
Milnor的A Nobel prize for Nash)。
二維環麵的尤拉示性數是零，由高斯比內定理，高斯曲率積分是零，所以高斯曲率有正也有負，環面上有些點處高斯曲率為負。
由於曲率是連續函式，有正有負就意味著有零。
至於四維歐氏空間中，則存在高斯曲率處處為零的二維平坦環麵，見do Carmo的黎曼幾何教材。