1樓：Martingale
假設已經按照皮亞諾公理建立好了自然數的概念，自然數集設為N。
定義N×N上的等價關係～，（a，b）～（c，d），若a＋d＝b＋c設f為N到N×N/～的對映，任意自然數n，f（n）＝[（n＋a，a）]，a為任意自然數。容易驗證f為良定，單射。從而f是N到N×N的的乙個嵌入。證畢
2樓：王箏
一般的，如果A是乙個abelian semigroup, G(A)是A的Grothendieck group，那麼有乙個canonical map ， （與a的選取無關）.
此時i保持加法，並且滿足乙個universal property：如果另有乙個abelian group B以及乙個加法同態 ，則存在唯一的群同態 使得f=gi.
一般來說，i不見得是單射（或者說是嵌入），但是如果A還滿足消去律(cancellation)，即 ，那麼i一定是單射。
而回到自然數構造整數的過程，此時因為自然數滿足消去律，所以i是乙個嵌入。對任意自然數n，n和i(n)當然是不同的，因為都生活在不同的集合裡。但是不妨濫用一下記號，把A和i(A)等同起來。
自然數裡面有用的東西無非就是加法和零元，因為i是乙個canonical homomorphism，而這些在i的像裡面都得到了保持，因此把i(A)和A等同並不會造成什麼損失。
p.s. 所謂的Grothendieckization是乙個把abelian semigroup完備化成abelian group的過程。
因為semigroup裡面只有加法沒有逆元，所以要做乙個群出來，必須引入足夠多的逆元，等價的說法就是引入減法。形式上來說，G(A)裡面就是所有的減法(a,b)=a-b，但是我們知道(a,b)和(c,d)可能不等但是a-b會等於c-d，而此種情況發生可以完全用加法去描述，即a+d+e=b+c+e（因為可能沒有cancellation）. 因此我們這樣定義：
，其中 .
能否用證明自然數和整數一樣多的方法證明 飽和烴種類與烴種類一樣多？（預設碳原子數可任意大）？
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hhh 正整數指的是1，2，3，4，5 那類的數 自然數包括0和正整數。整數包括負整數，0，正整數。整數就是指 3 2 1 0 1 2 3 那類的數。不是自然數的整數是負整數，指 1 2 3 那類的數。有理數就是能寫成兩整數之比的數。有理數包括整數和分數，分數就是指不是整數的有理數，所有有限小數和無...
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