1樓：路人醉
夾逼法，1＝1,2＝4，1.5，1.4一點一點的夾逼出來就能知道根三是個無理數，翻下初中課本無法開方數都是無理數，課本上解釋過n遍了，上學的時候作業習題也說過不下n遍了。
2樓：半醉人間味
m的平方=3*n的平方，並不能得出m是3的整數倍數，只能得出m是根號3的整數倍，因為假設根號3是乙個有理數，乙個有理數乘以乙個整數等於另外乙個整數是成立的，所以上面的推導並不正確。
3樓：四維超球體
如果你是高中生，應該看得懂我的另一篇回答
當整數 n 不是立方數時，為什麼 n 的立方根必為無理數？
其實初中生也可以挑戰一下，畢竟我也是
如果你是初中生，那麼
假設 不是無理數，即 是有理數
設 ，q,p互質，即
那麼 那麼
那麼q一定是3的倍數，即
設 所以
所以 所以p是3的倍數，即
發現這與q,p互質的條件矛盾
所以 是無理數
4樓：查無此人
@閱千人而惜知己 的答案簡潔優雅。很多經典數學小書裡都有這個套路，比用根號2的奇偶性證明更具有一般性。
就是用算術基本定理。
平方之後，左邊奇數個3，右邊偶數個3.矛盾。搞定。
3換做5,7,11等其他素數都適用，非常霸道的套路。簡直就是個開掛的東西。
5樓：予一人
這個問題可以推廣為證明：
若非完全平方數，則 是無理數.利用反證法。設若 是有理數，則可設 其中 是互素的正整數，於是 因為 互素，則依裴蜀定理（Bézout's theorem），存在整數 使得
如此，則有 這意味著 與 非完全平方數矛盾. 證畢.
6樓：NatsuIao
假設根號3為有理數
則存在整數p，q使得p^2=3q^2，其中q不為0根據算術基本定理，p^2和3q^2有相同的標準分解式繼續因為3整除p^2 -> 3整除p
得到p^2的標準分解式中質因數3的次方只會是偶次方但3q^2的標準分解式中質因數3的次方永遠是奇次方（無論3是否整除q
也就是說，同乙個數存在兩個不同的標準分解式如此得到矛盾，故根號3不為有理數。
7樓：馬蕭鳴
按照證明√2的思路。
假設√3是有理數，則存在互質的整數p q, p/q=√3 ，
平方得：p×p=3×q×q
可知： p的平方是3的整數倍。推出 p也是3的倍數。
設 p=3m , 則 q×q = 3 m×m ，所以q也是3的倍數。
這與 p 、q 互為質數矛盾。
其中用到乙個結論：對於整數 p 如果 p的平方是3的整數倍，那麼p也是3的整數倍。
使用反證法，來證明這個結論：
假設 p 不是 3的整數倍。 則 p = 3 n +1 或者 3*n+2，其中 n 為整數。
因此 p*p = （9nn+6n+1）或者 （9nn+12n+4）
p*p /3 = 3nn+2n+1/3 或者 3nn +4n +4/3
這與p*p 是3的整數倍矛盾。
8樓：
利用正整數集的良序性質，即任何正整數集的子集都存在乙個最小元素。
如果是有理數，則存在正整數使得為正整數。令但我們發現，小於且滿足：
為正整數。
由此得到矛盾。
9樓：
反證，假設是有理數，那麼
其中都是整數，並且。可以假設0" eeimg="1"/>。式平方可以得到
由於整除式右邊，因此也有整除左邊，於是整除，設，代入式得到類似的得到整除，即，這裡進行下去，我們會得到乙個無限減小的自然數序列和，但自然數是良序的，這個不可能的。
10樓：08cqzrwx
假設sqrt(3)為有理數，則sqrt(3)可表示為兩個互素正整數的比值，
設sqrt(3)=p/q, 其中p,q∈N+, 且p,q互素。
由p/q=sqrt(3)知p^2=3*q^2，故p^2為3的倍數，
此時假設p不為3的倍數，則可設p=3k+n, k∈N, n∈,則p^2=9*k^2+6*k*n+n^2,前兩項均為3的倍數，最後一項為1或4，很明顯不是3的倍數，而是模3餘1
故這與"p^2是3的倍數"矛盾，因此p為3的倍數，設p=3k，此時k∈N+
則有9*k^2=3*q^2,故q^2=3*k^2,因此q^2也為3的倍數，由之前的推導過程可知q也為3的倍數
p和q同為3的倍數，這與"p,q互素"相矛盾，故一開始的假設不成立，因此sqrt(3)為無理數
11樓：
首先明確素數的定義和有理數的定義：
素數：乙個大於1的自然數，如果除了1和它自身外，不能被其他自然數整除（除0以外）的數稱之為素數。
有理數：整數和分數統稱為有理數。
下面我們用反證法證明需要的結論：
假設是乙個有理數，不妨設它為（其中是乙個素數，和互素）那麼=顯然，
故從而有相同的質因子
這與和互素矛盾。
從而是乙個無理數。
又由於3是乙個素數，故為無理數，證畢。
12樓：
這是初中數學啊！
為了題主有特意下了一本數學書！
數學系以外的同學你好，這是九年義務教育範圍。
看不懂一定不是別人的問題。
當然這是根號2不是根號3……
你可以把｛偶數｝改成｛3的倍數｝
這點能力還是有的吧……
13樓：蘇莉安
我這裡有個最通俗有趣和直觀的方法，是用三角形來證明的。
如果根號3是無理數，則不存在互質的整數p和q，使得；
那麼我們用反證法，假設存在這樣的p和q滿足，也就是；
以p和q為邊長，作兩個等邊三角形：
等邊三角形的面積和邊長的平方成正比，根據可知，白色三角形的面積是灰色三角形的3倍。
我們把3個灰色三角形分別塞進白色三角形的三個角里，見下圖：
灰色三角形重疊出了3個深灰色的小三角形，同時中間留了塊白色的空隙；
這個圖形十分直觀，一看就明白：因為3個灰色三角形的面積之和等於大三角形的面積，所以重疊部分的面積一定等於留空部分的面積。
所以說，白色小三角形的面積，等於3個深灰色小三角形的面積之和，也就是單個深灰色小三角形面積的3倍。
設白色小三角形的邊長是n、深灰色小三角形的邊長是s，則有，也就是。
記住上面的結論，然後看看n和s到底是多少：
看大三角形的任意一條邊就能算出，；
再看灰色三角形內側，可知，代入一下即得。
因為p和q都是整數，所以n和s當然也是整數。
好了，最開始我們假設存在且p和q互質，現在又找到一對n和s也滿足，且n小於p、s小於q，說明必然是約分後的結果，與p和q互質的假設相矛盾。
所以根號3是無理數。
擴充套件小思考：
為什麼三個灰色三角形塞進大三角形之後一定會有重疊和中間的空隙？為什麼不是下面這兩種情況？
答：如果要像左圖那樣不重疊，則2q" eeimg="1"/>，與矛盾；
如果要像右圖那樣不留空隙，則，也與矛盾。
14樓：
其實可以證明所有素數開根都是無理數。
N為素數。用反證法若√N為有理數(且顯然不是整數)，則√N＝a╱b（a，b互質），可得N＝a×a╱（b×b）。
由於a，b互質，得出N不為整數，與N是素數的前提矛盾。
15樓：
既然@Brown Chen 用到環，沒理由我就不能用吧。因為f(x)=x^2-3在Q上不可約，所以sqrt(3)是無理數。
為什麼根號二是無理數，而不是有理數與無理數之外的數？
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