1樓：Honest168
分享乙個我新學到的證法，雖然同樣是利用反證法，但和最高贊的方法有些許差別。
利用反證法。若 為有理數，則可設
對於 ,有
設 為 的整數部分，則有
若 ,則
但 和 相衝突，
故 為無理數，
證畢。創造這個證明法的是讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅利葉，題主感興趣的話可以去查一下這個人的生平和該證明法的背景。
2樓：cuthead
e的公式有兩個，乙個是e=(1+1/x)^x，乙個是e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!……，這兩個式子的結果在2.7的地方收斂
3樓：我本非凡的老金
這裡我們給出乙個超越性的證明（證明源自Hermite，1873），從而直接說明e既是無理數又是超越數。
考慮積分：
使用分部積分，再乘上 ，可以得到：
這裡的兩個積分形式是一樣的，只是 換成了 ，所以現在令：
同時，假設是乙個多項式，於是上面的函式 便是乙個有限的多項式。
對於最上面的那個積分，重複使用分部積分，用 可以表示為：
現在假設e是乙個代數數。根據定義，我們應有乙個（整係數）多項式，使得：
利用等式（*），我們可以得出：
等式右邊的第一項為0，所以
注意，這時我們的等式（**）依然對所有多項式 成立。
這個證明的關鍵在於，現在我們要選取乙個合適的 ，使得左邊是乙個非零整數，但右邊又很小(小於1），於是得出乙個矛盾。
現在令：
其中 是乙個質數。令：
那麼，對於（**）的左邊，
這裡的 ， 和 都與p無關。因為階乘比指數增長得快，我們可以選擇乙個足夠大的 使得不等式的右邊小於1。
要證明（**）的右邊是非零整數，首先考慮 的情況。先對 用泰勒展開，
如果 ， ，所以通過對比兩邊的係數，我們得到：
所以 是個整數。現在令 n" eeimg="1"/>且 \left| a_0\right|" eeimg="1"/>。
因為 是乙個質數，它將不存在於 中，那麼 不是乙個 的倍數，而對於更高階的導數，通過對比係數，
因為 p" eeimg="1"/>，所以 是整數，且是p的倍數。由此， 是乙個整數。
同樣地，我們通過進行泰勒展開也可以證明對於 ， 都是整數（而且是 的倍數）。
那麼， 可以是0嗎？答案是不能。因為 不是 的倍數，而其他 都是，這迫使 成為 的倍數，而這當然是不可能的
（至於為什麼超越數一定是無理數。。留作習題吧）
4樓：Hilbert
關於e是無理數的證明，可以用反證法。
如果e是有理數，則可以表示成為兩個互質的整數的商，即:e=p/q，其中p,q都是大於1的正整數。於是
p/q=e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/q!+1/(q+1)!+1/(q+2)!+...
將上式整理一下，得到
q!(p/q-1-1/1!-1/2!-...-1/q!)=1/(q+1)+1/((q+1)(q+2))+1/((q+1)(q+2)(q+3))+...
很顯然，這個式子的左端是乙個整數，而對右端的式子，有
0<1/(q+1)+1/((q+1)(q+2))+1/((q+1)(q+2)(q+3))+...
<=1/(q+1)+1/((q+1)(q+2))+1/((q+2)(q+3))+...
=1/(q+1)+1/(q+1)-1/(q+2)+1/(q+2)-1/(q+3)-...
=2/(q+1)<1
匯出矛盾來了，所以e 是有無理數。
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