1樓：法國球
零：可測是顯然的。
一：正測集可以以任意大的比例佔據某個區間。
↓把這結論稍微改改，正測集也可以以任意大的比例佔據某個有理數為端點的區間（簡稱有理區間）。
二：無理數在每個有理區間中所佔的比例都是一樣的。
↑因為有理區間內的無理數集可以表示成[0,1]內無理數集的乙個「有理線性變換」（係數都是有理數的線性變換）。
一和二結合起來，得出結論：[0,1]內的無理數，要麼測度為1，要麼測度為0。測度為零是不可能的，因為[-e,1-e]內的有理數可以經過某個平移「藏進」[0,1]內的無理數中，所以，[0,1]內的無理數的測度至少是1/2。
2樓：
首先，[0,1]中的有理數因為是零測集，所以是可測集。然後[0,1]也顯然是可測集。由於可測集和可測集之間的差集仍然是可測集，並且互不相交的可測集之間滿足可列可加性。
所以[0,1]中的無理數測度為1。
以上的測度均為lebesgue測度。
3樓：
這麼解釋是很合理的，沒要必要糾結。
測度公理的第三條：若E1∩E2=空集，則m(E1∪E2)＝m(E1)+m(E2)
所以 [0，1]的測度為1，等於區間上有理數的測度+無理數的測度。
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