1樓：Zeta Eta
正常學數分的思路：
實數的完備性（連續性）公理（一般認為是戴德金基本定理，等價於這7個定理的迴圈證明：確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理、柯西收斂準則，這幾個東西說了一堆車軲轆話形成乙個閉環←雖說他們叫定理，但其實你必須至少承認和信仰其中乙個（信柯西收斂準則或閉區間套定理的話，還得加上實數的阿基公尺德性）作為公理，也就是大前提，如果連這件事你都拒絕了，那咱就別玩了）
→實數的阿基公尺德性
→有理數集在實數集中稠密
→無理數集在實數集中稠密
（就樓上有人說的方案，用定義證明的話，就是兩個實數都加or減or乘or除乙個無理數，用有理數集在實數集中稠密，得到夾在其中的乙個有理數，三個數再統一逆運算減or加or除or乘回去那個無理數，得證←「無理數加or減or乘or除有理數 = 無理數」可以由數域的定義即域公理和無理數集有理數集交集為空來得到）
為什麼這個思路很重要呢？
說明證明這個命題只用阿基公尺德性就夠了，阿基公尺德性是蘊含於完備性裡的，但並不能反推完備性。
引自某度 實數公理：
這裡有乙個很微妙的問題，即與完備性公理等價的7個實數系的基本定理（確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則）中，並不是每乙個都能推出阿基公尺德公理的。具體來說，閉區間套定理和柯西收斂準則不能，其他5個基本定理則可以推出阿基公尺德公理。因此，以完備性公理作為實數公理之一時，阿基公尺德公理可以去掉；以5個可以推出阿基公尺德公理的基本定理替代完備性公理時，阿基公尺德公理也可以去掉；而以柯西收斂準則或閉區間套定理代替連續性公理時，必須補充阿基公尺德公理。
2. 反證思路：
實數的完備性公理（如：使用閉區間套定理）
→實數集不可列（證明實數集的上的任意區間不可列）
→無理數集在實數集中稠密（其實就是上述命題的否命題，反證嘛：否則存在乙個開區間，裡面全是有理數，而有理數集的子集一定是可列集，矛盾）
為什麼這個思路也很重要呢？
同上，說明證明這個命題只用閉區間套定理就夠了，前面也說了，閉區間套定理是蘊含於完備性裡的，但並不能單獨反推完備性（需要配合阿基公尺德性）。
3. 構造思路(我們可以繞過實數的完備性公理直接證明嗎？)
設 總是可以取到乙個
比如我取
而 要麼是無理數，要麼是有理數。（即無理數可表示為 ）（該命題乍一看是直接由定義得來的，上面兩個證明也都用到了，但它是否需要實數的完備性公理作為支撐來證明呢？）
是無理數，直接得證。
是有理數，不用慌
總是可以再取到乙個
比如我再取
是無理數，直接得證。
也是有理數，還不用慌
再取 （比如你可以取 ）
構造 （「無理數加or減or乘or除有理數 = 無理數」）
由實數的域公理和序公理，可得
命題得證。
2樓：Will
相對於證明無理數處處稠密。
設a為任意有理數，則 「a + 根號2」 為無理數，即由有理數處處稠密立即得出無理數也處處稠密，證畢。
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