1樓：無故事少年
首先你得結論應該是a和b中至少有乙個為0。
然後它的逆否命題為:若a,b都不為0，則a乘b不等於0，逆否命題為真，則原命題為真。
2樓：
菜雞來了！菜雞來了！菜雞來了！0在實數集內，a、b分別可以等於0或不等於0。
共四種情況：
①a≠0，b＝0。a·b＝0。
②a＝0，b≠0。a·b＝0。
③a＝0，b＝0。a·b＝0。
④a≠0，b≠0。
∵ab＝0
∴a＝(0/b)＝0
b＝(0/a)＝0
∴矛盾，不存在a≠0，b≠0使ab＝0
綜上，可證。
勿噴勿噴
3樓：StealBallRun
乙個二個還從實數理論開始建立了，又是整環又是線性空間的，這不是因果倒置嗎？
若不然，則若ab同號則為正，ab異號則為負，矛盾。
4樓：
把實數集的一部分定義寫出來：
元素 存在，且 ，
元素 存在，且 ，有
運算+滿足結合律，即 ，
運算·滿足結合律，即 中任何元素 , , 滿足對於任何元素 ，元素 存在，它滿足
對於任何元素 ，元素 存在，它滿足
乘法相對於加法滿足分配律，也即 ，
這樣的話，我們就可以證明 ，
這是因為
為了處理這一步，我們可以基於 、和 先證明出，對於方程 ，在 中會有唯一解
然後我們就可以看出，接著會有
所以證得
亦同理利用 、和 可以證對於方程 在 時有唯一解使用這些證明，就可以很容易證出
這是因為我們知道，若 ，則可知關於 的方程 的解是唯一的，即 （到這裡其實就已經證完了，源自於下面這幾條等價式）
我們已知：對於方程 在 時有唯一解
因此基於 ，可以知道，
對於任意 ，有 ；
同理可以知道，對於任意 ，有 .
所以，可以看出，我們有
且這就相當於有
且也即相當於有
且也即相當於有
且最終就有
且仔細看這兩條式，其實是完全一樣的，所以我們實際上就只推出了
5樓：昭華學園
:試證一下:
因為a=0或b=0
等價於a=0且b≠0 或 a≠0且b=0 或 a=b=0所以ⅰ 當a≠b時
ⅰ-ⅰ 當b≠0時，因為ab=0 所以abx(1/b)=0ⅹ(1/b)所以a=0；
ⅰ-ii 同理ⅰ-ⅰ，當a≠0時，b=0；
ii 當a=b時
因為ab=0，所以a=b=0.
綜上可知命題成立。
6樓：Yan He
1.這個命題對於整數a,b成立。
2.這個命題對於有理數成立，因為有理數可以看成整數之商。
3.這個命題對於實數成立，因為實數可以用有理數逼近。
7樓：
從給小朋友說題目的角度來看，數學思想比結果更重要，其他答案是非零實數可逆出發，我覺得還可以試試遞增遞減的思想，教會小朋友從一些導數的思想~~。
增增減減，可以讓我們對a*b=0這個式子多一些感性了理解，所以在看待「a·b=0，則 a=0 或者 b=0」我可能會這樣子講。
最後給小朋友總結一下，用日常用於就是，在a和b是自然數的時候，a·b=0，則在a或b等於0，順便和他說，這個或比我們日常用語多了一層，a=0，b=0的意思。至於實數，你可以用增增減減的辦法試一下。
8樓：yvbbrjdr
你們搞那麼複雜幹嘛= =
考慮逆否命題：若 a != 0 && b != 0，則 a * b != 0。
考慮如下情況：
1. a > 0 && b > 0, a * b > 0.
2. a > 0 && b < 0, a * b < 0.
3. a < 0 && b > 0, a * b < 0.
4. a < 0 && b < 0, a * b > 0.
任何情況下 a * b != 0。
Q.E.D.
9樓：白如冰
張工的答案再次離題萬里。。。
如果問，如何證明若兩個複數 a·b=0，則 a=0 或者 b=0那種方法還怎麼證?
這就是域的性質。
10樓：遺弈
這是要做初高中階段的證明還是要做數學分析的證明？初高中的證明只需用反證法，數學分析要從乘法及實數的定義那邊開始推。
事實上用後者的思維，連1+1=2、交換律這種我們認為天經地義的東西都要證明一遍，但我認為對你和你弟弟沒什麼實際意義。
11樓：
不妨設b不為零，從而兩邊可以同時除以b，而除法遵循代入公理，兩個相等的數除以同乙個數後的結果應當相等，也即a為0。
關鍵點在代入公理，如果乙個運算對乙個等價關係遵循代入公理，那麼對滿足這一等價關係的物件施加這一運算，得到的結果也要滿足該等價關係。
12樓：小貓愛大公尺
嗯。。。用反證法？
構造平面直角座標系，a，b分列兩軸。a*b則為矩形面積。
當a，b不為0時，面積a*b都不為0，得證。
我數學學得不深，只能拿這個解法去忽悠下中學生了。
13樓：曙光
這個依賴於選擇公理
（1）有理數是良序集雖然可以滿足消去律，但是沒有說明a,b之中至少有乙個數為零。
（2）當數域擴充至複數域時，還需要證明複數集是否為良序的。
如果題幹給出的結論在（1）中的情況成立時，那麼可以得出在實數集上成立。那麼應該考慮一下（2）的情況下是否成立。
回答已修改
以下是我的想法
14樓：鍵山怜奈
正經解答。
根據戴德金分割定義法，非負實數定義為非負有理數的乙個前段集合，即當集合r是非負有理數的子集，並且滿足：
任意非負有理數x，（x屬於r 則任意非負有理數y，（y小於x 則 y屬於r））
稱r是實數
非負實數乘法定義為，a·b=，可以驗證這個定義是良好而合理的
由於帶符號實數僅僅是在實數的基礎上新增了乙個符號，只需要證明對於非負實數滿足a·b=0則a=0或b=0，即可推知對於任意實數滿足a·b=0則a=0或b=0
由於a·b=0=，而若a,b非空，則至少存在乙個p,q∈a×b，p·q∈a·b，矛盾；因此a,b二者中必有一空
15樓：Sayako Hoshimiya
Theorem
:forall(a
b:nat),a*
b=0->a=
0\/b=
0.Proof
.intros
.destructa.
-left
.reflexivity.-
destructb.
+right
.reflexivity.+
simplinH
.inversionH.
Qed.
總覺得這個是在抖機靈……
哦哦！實數……
16樓：普通的穗乃果普通地搖
想要證明實數的性質，必須要問實數的定義。
有兩種比較常見的實數定義方法…
一種是用有理數構造。可以通過戴德金分割，或者柯西列的等價類，來定義實數。
這樣的話，就可以根據實數的構造和有理數的性質證明下來。
（有理數本身是由整數對的等價類定義出來的，整數由自然數定義，而自然數的性質由皮亞諾公理完全描述…至於自然數的存在性嘛…）
另一種，會丟出一堆公理（完備的有序域），把滿足這些公理的集合稱為實數。然後實數的存在性，可以通過證明有理數構造出來的東西滿足以上公理來保證。
在這個邏輯下，題目中的問題，是域的公理比較直接的推論。
（兩個定義的等價性，可以通過第二個定義的實數的唯一性得到）待續…
17樓：潘敬華
0*A=0是公理吧。
A*B = X*(B1 - B2) = X*B1 - X*B2，若A!=0，當且僅當B1 = B2時，B = 0，A*b = 0。
有沒有迴圈論證就不知道了。
18樓：
如果a,b同時不為0，那麼ab就不為0。與原命題等價。
兩個不為0是實數的乘積所得的實數，該實數所對應的基本序列從某項起大於或小於某個非0的有理數，所以該實數不是實數0（要麼是正實數，要麼是負實數）
（cantor）
觀點2，消去率成立與環內沒有非平凡的零因子等價a b=ac（a不為0），a（b-c）=0，兩邊乘上a逆，b=c，所以乙個消去率是乘立的，所以沒有…，所以域一定是個整環，當然R是域
19樓：
因為非零實數有逆
可逆，兩遍左乘a的乘法逆元
，任意元素與零元乘積為0
證畢， 同理可證
和實數是什麼沒多大關係，只要在乙個集合裡有零元, 給它裝備乘法, 非零元皆可逆, 那都有這個性質...
作為對比，非零矩陣不一定有逆
所以 不能推出
當然同樣的，明確了A可逆，那麼有B為O..
20樓：囧洛特
望斧正。
a，b均只有三種情況，大於零，等於零，小於零。
當a>0，b>0時， ab>0
a<0，b>0時，ab<0
a<0，b<0時，ab<0
a=0（b=0），b不等於0（a不等於0），ab=0
21樓：
如何證明兩個實數a*b=0, 則 a=0 或者 b=0?
這種題目不需要且沒必要去構造實數
(公設 : 實數是具有完備性的有序域)
定理一. 對任何實數 r , r*0 = 0證明 : 給一實數r ,
r*0 = r(0+0) = r*0+r*0 (第乙個等號 0為域的加法單位,第二個等號為域的乘法對加法的分配律)
再由域存在加法反元素
0 = r*0 - r*0 = (r*0+r*0)-r*0 = r*0
定理一得證
原題 : 證明兩個實數a*b=0, 則 a=0 或者 b=0
證明:假設a*b = 0
若a = 0,則證得
故假設a不等於0
a存在乘法反元素 , 將 a*b=0左右分別乘上可得 ,由定理一可得 b = 0結束
22樓：靈劍
實數公理的一部分是實數構成乙個域，簡單來說也就是對加減乘除封閉。當b不為0時，兩邊同乘以b的乘法逆元，得到a=0，因此b不為0則a為0，這等效於b為0或a為0
23樓：黎曼可不積
我感覺這個問題涉及到了乘法定義
對於實數而言兩個非零的數乘積一定非零
因為實數按照加法、乘法構成數域（這點很重要，在一般的有零因子環裡所要證明的結論就不對了） ，由於實數去掉零按照乘法構成群，所以兩個非零元乘積仍在實數去零這個集合內，自然非零，所以乘積如果是零必然至少有乙個是零，必要性得證，充分性顯然
24樓：Kevin Wayne
證明：∵ 0·a=0，①
又∵ 0·a=a·0（乘法交換律），
∴ a·0=0。②
由 ①、② 可知，若兩個數相乘等於 0，只需乙個因數為 0 即可。
25樓：
ab＝0
若a≠0，則給方程兩邊同乘以1/a，可得b＝0；
若b≠0，則給方程兩邊同乘以1/b，可得a＝0；
則a，b中至少有乙個等於0。證畢。
26樓：段譽
對於一般系統，ab=0並不意味著a或b=0, 舉個例子，對於乙個膜4系統
2*2=0 (mod 4)
對於實數系統，這個是成立的。證明如下
假設a不為0，那麼任意非零h都可以找到k使得k=h/a
因為ab=0, 所以 (k)a*b=0. 所以 hb=0那麼當h=1的時候，b=0.
同理可證b不為0的情況。
如何證明兩個實數間一定存在無理數
Zeta Eta 正常學數分的思路 實數的完備性 連續性 公理 一般認為是戴德金基本定理，等價於這7個定理的迴圈證明 確界存在定理 單調有界定理 有限覆蓋定理 聚點定理 緻密性定理 閉區間套定理 柯西收斂準則，這幾個東西說了一堆車軲轆話形成乙個閉環 雖說他們叫定理，但其實你必須至少承認和信仰其中乙個...
如何證明如果x與y都是兩個平方之和，則其乘積xy，同樣是兩個平方之和？
可以直接驗證 這個等式叫婆羅摩笈多 斐波那契恒等式 Brahmagupta Fibonacci identity 把 換成 可以得到另外乙個等式。這個等式在任何的交換環中都成立。如果上面的a b c和d是實數，那麼這個等式與複數的絕對值的乘法性質等價 如果將複數換成四元數，可以得到尤拉四平方和恒等式...
證明如果A,B是兩個同階的非零矩陣,且AB O,則det A 0且det B 0？
夫子 因為det AB det A det B 0,所以det A 0或det B 0,進一步，如果det A 不等於0，則A可逆，從而B 0，矛盾 所以，det A 0,同理，det B 0 由同階矩陣組成的帶有矩陣乘法和矩陣加法的集合是個環,zero divisor無inverse.因此det ...