1樓：
不言而喻。。。
矩陣乘法的本質是什麼？
秩就簡單啦，前面說過空間 到 的線性變換 可以寫成 到 基元變換的組合，那麼這個組合當然可以有很多種寫法，自然會問最少需要幾個基元變換？這個最少個數就是變換 的秩
2樓：
先介紹乙個重要的定理．
定理１：設 是數域 上的乙個 矩陣，或者說，令 為 到 的乙個線性對映，那麼
式中，矩陣 可看做是乙個 到 的線性對映，所有 中的向量，一部分被對映成了 中的非零向量，所有這些 中的非零向量組成集合 ，稱它為 的象集，一部分 中的向量被對映到 之後，發現位置已經佔滿了！沒有 中的非零向量與之對應了，這部分被對映為 中的零向量的 的向量組成 的零空間 ．
形式化地說：
表示對乙個線性空間取維數．
由於，任取 ，由於 ，所以 ，又由於 ，所以 ，所以 ，所以 ．所以 ．
所以所以
所以所以
3樓：
設rank A = m, rank B = n所以存在一組線性不相關的向量u1,u2,...,um, A的每個行向量可以用u1,u2,...,um線性表示
也存在一組線性不相關的向量v1,v2,...,vn, B的每個行向量可以用v1,v2,...,vn線性表示
因此A+B的每個行向量可以用u1,u2,...,um，v1,v2,...,vn線性表示
rank(A+B) <= m+n
這樣就可以了嗎
4樓：SilverFox
首先要明白秩的概念，說白了就是解方程組的約束條件，在矩陣中就是每行至少存在乙個不為零的數。再來看A+B，這裡可以確保A，B一定是同型矩陣的不然不可能相加。
再來說什麼時候r(A+B)＝r (A)+r(B)呢？這說明A與B的秩相同，但是約束的方程肯定不相同的時候。舉個例子吧，比如說A和B都是n階方陣，A的秩為i，B的秩為n-i，這裡A交B是。
這時候r (A+B)＝r(A)+r (B)。
為什麼說是≤呢，因為只有A交B＝的時候，才能說明相等，除此之外，但凡他倆相交不為空的時候，他倆相加肯定比A+B的秩要大。
我不僅可以說r (A+B)≤r (A)+r(B)，我還可以說r(A-B)≤r (A)+r(B)。
5樓：冷凍青蛙
給出乙個不需要使用構造分塊矩陣的方法：
以下用 表示矩陣 的列向量， 也同理，那麼我們有不難看出存在子空間的關係
然後關於秩的不等式就可以直接得出結論了
6樓：
將矩陣進行初等行變換可化為
再進行初等列變換可化為
初等變換不改變矩陣的秩，顯然由原矩陣，該矩陣的秩為矩陣 含在 中，所以有
如何證明反對稱矩陣的秩一定為偶數呀 ？
穩重 首先做一點補充，這個反對稱矩陣對應的域的特徵應滿足 否則取 矩陣 它也是反對稱矩陣，而它的秩為奇數 在這個域裡面 其次，考慮到反對稱矩陣的性質，我們自然有這樣的想法 如果 那麼 從而 如果 呢？讓我們介紹乙個利用初等行列變換的方法 引理 若 的前 行 前 列線性無關，那麼由前 行前 列組成的 ...
如何證明如果x與y都是兩個平方之和，則其乘積xy，同樣是兩個平方之和？
可以直接驗證 這個等式叫婆羅摩笈多 斐波那契恒等式 Brahmagupta Fibonacci identity 把 換成 可以得到另外乙個等式。這個等式在任何的交換環中都成立。如果上面的a b c和d是實數，那麼這個等式與複數的絕對值的乘法性質等價 如果將複數換成四元數，可以得到尤拉四平方和恒等式...
證明如果A,B是兩個同階的非零矩陣,且AB O,則det A 0且det B 0？
夫子 因為det AB det A det B 0,所以det A 0或det B 0,進一步，如果det A 不等於0，則A可逆，從而B 0，矛盾 所以，det A 0,同理，det B 0 由同階矩陣組成的帶有矩陣乘法和矩陣加法的集合是個環,zero divisor無inverse.因此det ...