1樓：thomas
看了幾個回答，發現有答主對向量組等價的概念理解有點偏差。
以下是@天下無難課 的回答：
秩相等是向量組等價的充要條件。當然，兩個向量組的向量還必須是同維數的。
只說秩相等，還不能說明兩個向量組是同樣維數的，不同維數就根本談不上等價了。
首先我給出向量組等價的定義：
如果兩個向量組可以相互線性表出，它們就稱為等價。
《高等代數(第4版)》119頁
由此我們可以立即得到乙個等價的定義：兩個向量組等價，當且僅當它們張成同乙個線性空間。
同時這告訴我們乙個很重要的資訊：兩個向量組的秩相等是它們等價的必要條件，而非充分條件！
我們以三維空間中的兩個向量組為例說明：
顯然，它們的秩都是2，但矩陣 在三維空間中張成的是 平面，二矩陣B在三維空間中張成的是 平面。所以它們並不等價。
那麼向量組等價的充分條件是什麼呢？我想上面的例子已經告訴我們了。在這裡我不加證明地給出以下幾個充要條件：
兩個向量組 等價，
當且僅當它們張成同乙個線性空間。
當且僅當 。
當且僅當存在可逆矩陣 ，使得 。
當且僅當 。
2樓：天下無難課
秩相等是向量組等價的充要條件。當然，兩個向量組的向量還必須是同維數的。
只說秩相等，還不能說明兩個向量組是同樣維數的，不同維數就根本談不上等價了。
3樓：「已登出」
R(A)=R(B)=R(A|B)/R(B|A) 等價於秩相等且其中乙個向量組能由另外乙個線性表示等價於秩相等且B=AX/A=BX 其中乙個有解
同濟84頁
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12題怎麼做的，我看答案說兩個向量組等價，但等價的充要條件不是向量組可以相互錶出嗎
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