兩個向量的叉乘為什麼是面積？

1樓：

二維叉積一圖搞定即可

對於三維叉積，考慮其定義不難發現對於未知向量，在為自變數時是線性的，於是我們也就可以將看作是乙個從三維到一維（實數）的線性變換。

那麼我們就可以假設也就是由點積幾何意義（投影相乘）和幾何意義（三個向量圍成的平行六面體的有向體積或者說），顯然的模長為兩個向量構成的平行四邊形有向面積，垂直於另外兩個向量張成的平面且其方向滿足右手定則。

同時由不難得出於是有至於把換成向量無非就是表示叉積的結果是向量而已。

2樓：智商稅

n維空間的向量的外積（n元運算，結果等於這些向量拼成的方陣的行列式值）是該空間中n維超平行四邊形的測度。

在三維空間中，特別地定義了兩個向量的叉乘，結果是乙個向量。但是因為兩條直線能張成乙個平面，所以乘積向量的大小恰好等於了平面內這兩個向量的外積。

3樓：高寒

丟擲向量的思想，正常求平行四邊形面積本來就是底乘以高。

從這各角度去計算，平行四邊形的底就是乙個邊長（其實就是乙個向量的模|a|）。

而高我們通常是用另外乙個相鄰的邊，夾角，以及用輔助線做出的高，去構造出乙個三角形，如果畫圖的話，剛好就是h=|b|*sin，也就是另外乙個邊的模和夾角正弦值的乘積。

所以S=|a||b|sin剛好和向量的叉乘的模是同樣的數值。

4樓：知至知終

首先並不是規定叉乘結果是面積，而是對二維向量來說，剛好叉乘結果等面積。至於為什麼，我大致說下。

首先要明確叉乘的運算結果怎麼來的。基本規則如下

i x j = k;

j x k = i;

k x i = j;

a x b = -(b x a);

a x a =0;

然後計算(ai + bj) x (ci + dj)

= ai x ci + ai x dj + bj x ci + bj xdj

=0+(ad-bc)k+0 = ad-bc；

最後這個為啥等於面積，初中幾何就可以推導了。我就不上圖了，大致說一種方法。

以兩向量相加的向量作為矩形的對角線。此矩形的面積為

S = (a+c)(b+d) = ab+ad+cb+cd;

然後減去非平行四邊形的區域，兩個小矩形和4個小三角形。具體自己算去吧。初中知識即可。

5樓：茴香豆

應該說是兩個向量叉積的模可以表示為以兩個向量為邊所構成的平行四邊形的面積。而叉乘出來的叫有向面積，是個向量，這個向量其實就是平行四邊形面積和垂直於平行四邊形面積單位法向量的乘積。有向面積的方向規定按右手定則。

6樓：嫑勥

兩向量的叉乘(叉積、外積)仍然是乙個向量：

1.這個向量的大小為原兩向量模的乘積乘以其夾角的正弦值，也就是說在數值上等於兩向量平移後形成的平行四邊形的面積。

2.這個向量的方向是與兩個原向量都垂直的方向，其指向用右手準則來判斷。