1樓：Li Vincent
先不說數學，僅僅說面積的概念如何產生的。
相對於「面積」來說，「體積」概念更容易說明清楚。體積相等，也就是意味著所盛的酒，或者穀物的量是一致的。可以產生平等的交換。
那麼面積這個概念如何產生的呢？有人說可以用所覆蓋的布的量去衡量。兩個面積相等的圖形，所消耗的布是一樣的。
數學上的確是如此。但是兩個面積一樣的圖形，所消耗的布是一樣的這個事實，如何通過兩塊布去比較和驗證呢？這不如倒水或者倒酒來比較體積那麼直觀啊。
歷史上「面積」的產生是和農業的產生和發展相關的。面積的概念產生於土地可種植作物的數量的比較。每一株作物所佔據的空間可以視為乙個面積單位（相對於廣袤的種植面積，植株所佔據的空間也就是乙個微元）。
一種圖形的面積，就是可種植作物的數量，也就是其能容納的面積單位數量的總和。兩塊面積相等的圖形，意味著可種植作物的數量是一致的。而計算方法方法基礎是簡單的加法，後來更進一步的是快捷的乘法。
同時，可種植植株的直接的數量比較，也進一步的抽象為乘積（面積）的數量比較。面積用多少株稻穀這樣的個數，進化到畝這樣的面積單位。
在數學的學科產生之前，先民是用在生產和生活，以及交易中發現了面積和體積的概念。
2樓：傾斜的天空
這已經不知道是我第幾次回答這個問題了…
看到有人說用Lebesgue測度定義面積，誠然這是對的…但這一點也沒有解釋最初面積的想法，最基本的問題就是為什麼階梯函式的積分要那麼定義？Lebesgue測度只是知道了矩形面積公式之後定義任何可測區域的面積，而用Lebesgue測度算矩形面積算出來就是長乘寬，只能說明我們對測度的定義是合理的，不能解釋矩形面積公式…
首先面積這個定義是有意義的，不僅僅是在數學上…平常生活中，我家裡特別寬敞，你家裡走兩步就是牆，那明顯是我家大…所以接下來做的工作make sense
首先面積完全是人定義的，所以把單位正方形面積定義成1
然後我要保證，兩個東西不重疊地放在一起的面積是分別的面積之和
然後要保證如果乙個矩形長和寬都不比另乙個矩形少的話，面積也不會更小…進一步可以假設乙個矩形如果長或者寬嚴格多於另乙個矩形的話，那麼面積也要嚴格大一些
然後就可以很trivial地推出來面積就是長乘寬…
簡單來說就是Cauchy函式方程的單調解只有線性解
（這裡感覺用單調性比較合理，而不是連續性和可測性之類的…不然感覺有點重複定義的嫌疑）
3樓：Asdo
以下回答是本人編的。
最開始人們不知道長度，也不知道面積。
後來生產發展了，比如你有一匹布，你需要賣掉他來換吃的，或者直接簡化一點，你要賣掉他換錢，現在市場中公認了乙個單位長度值1兩銀子，你發現兩個單位長度的布就和你的布一樣長，你自然要求賣2兩銀子。
為了滿足更複雜的需要，人們可以創造分數，從此你的布就有了乙個對於單位長度的數值，表示布的長度，我們用的這個單位長度叫公尺。
後來你家兩兄弟分土地，你覺得把一塊長方形的地的長分成兩半，分成的兩個小長方形可以重合（你拿了一匹布做實驗發現確實可以），於是你支援這種分法。
這相當於預設了面積正比於長，類似的，也正比於寬，那麼，我長是你的3倍，寬和你一樣，面積是你的幾倍？3倍，進一步，如果我的寬是你的4倍，面積是你的幾倍？12倍。
拿一塊布剪開就可以證實這一點。
最後我只要用你的布作為乙個單位，我的布對應的數值自然就是長對你的長的數值乘寬對你的寬的數值，如果進一步我選擇當初的單位長度為長和寬，面積就成了長乘寬。我們的單位面積正是1m*1m。
所以關鍵不是1公尺多長，也不是一平方公尺多大，關鍵就是面積具有對長和寬的線性性質，這從實際得來，反映到我們的公式之中。
4樓：陳雪明
看到前面的回答都那麼高大上，我深感自慚形愧了。
我用的是最土的土辦法證明長乘寬等於面積。
我把一塊邊長n的正方形的每條邊都等分成n份線段，按橫平豎直連成許多邊長為1的小正方形。
然後我就數小正方形的數量，數來數去小正方形的數量都是nxn。
就這樣我就記住了正方形的面積是nxn。
5樓：
面積的概念源自土地的丈量，中國古代叫「方田術」，《九章算術》的第一卷開篇講的就是這個：
今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。
又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？答曰：一百六十八步。
方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃
一塊同樣大小同樣等級的地，可以種同樣多的糧食，就這麼乙個簡單樸素的道理。徵稅要用，租佃要用，土地買賣賜予都要用。
有答主從單位面積的角度解釋，也不無道理。田地面積本質上也可以看成單株作物為單位面積的總和——只不過這個「單位面積」普適性太差，所以人們還是選擇以更抽象的面積（積步、畝、平方尺等）作為面積的度量。
6樓：
1.正方形哪來的長和寬之分?
3.如果是歐氏度量下的面積，那麼矩形的面積可以理解為乙個被積函式是1的二重積分，積分區域為這個矩形。
7樓：Lex
面積就是一塊區域點的集合。
現在有一塊長2公尺寬3公尺的長方形，這塊區域裡的點怎麼算呢？ 我們先定義一下一條2公尺長的線上點的數量，再算一下3公尺長的距離有多少條線，點的數量乘以線的數量就是這塊區域所有點的數量了。
如果學過微積分就能理解了
8樓：
用幾個基本原理可以說明為什麼長方形面積等於長乘寬。
首先兩個全等的圖形面積完全相等。
乙個長方形如果長為 ，寬為 ，面積函式可表示為 。交換 邊，可得到乙個面積完全相等的長方形，所以 。
兩個圖形拼起來的面積是兩者之和。對於長相等的長方形，將它們對齊長邊，把寬邊拼在一起，可以形成另乙個長方形，寬是兩者之和。所以 。
由此可得：
因為長方形長、寬、面積均為正，有0" eeimg="1"/>， 0" eeimg="1"/>，所以單調遞增。
因為 ，所以對於有理數 0" eeimg="1"/>，有。
關於連續（即證明在趨向於0時極限為0，首先趨向於0時單調遞減有下界，所以極限一定存在，其次用第二條證明 可以任意接近於0，因此 。
因為 關於連續，對於任意實數0" eeimg="1"/>，，所以。
同理 。
所以乙個長為 ，寬為 的長方形面積是 長方形面積的 倍。為了使用方便，可以規定長為1,寬為1的長方形面積 ，因此 ，也就是大家說的，長方形的長乘寬等於面積。
所以，原始的定義不是定義長方形的面積公式，而是定義單位正方形的面積為1，任意長寬的長方形都可以由單位正方形或更小的正方形拼接出來。
9樓：神淚一光
人們要衡量計算一塊土地的大小。於是面積這個概念便誕生了！
為什麼正方形長寬的乘積是面積呢？
因為！幾何學源於早期人類農業活動。農田主要有三角形，矩形，平行四邊形。那麼怎麼衡量測量這些農田的大小呢。這就產生了歐幾里得幾何。
正方形（應該用矩形這個詞）是乙個很特別的圖形
1他是直角三角形組成的，或者說他可以切割成直角。三角形。所有的三角形都可以切割成直角三角形。
也就是說三角形和矩形是統一的。三角形的面積怎麼衡量？通過矩形可以衡量所有三角形！
2矩形是乙個特別的平行四邊形，它的角是直角，是乙個定值，乙個常數。而直角是最容易畫出來的，最常用的。所以它被定為了乙個標準。
其實歐幾里得幾何封閉的的基礎圖形就兩個，直角三角形和圓。或者只有直角三角形。
三角形怎麼算大小呢。算它有幾個直角三角形！而矩形也不過是兩個相同直角三角形的組合。也就是算矩形數量。多邊形同理，也是直角三角形的組合體現。
而，長寬乘積，就是數數量。
把長寬乘積定為面積，就也是數數量，數單位矩形的數量，數單位直角三角形的數量。
於是所有的圖形面積計算都是統一在乙個計算標準之下了。
10樓：Lancemu
這個問題，在我三四年級的時候學面積的時候，也迷茫過。為什麼要把兩個長度乘到一起，為什麼面積的單位是平方長度。
後來我是這麼理解的，我們想解釋平面的大小，怎麼搞呢？。舉個例子吧，隨便找乙個正方形，定義這個正方形的面積為1，單位什麼的我們先不考慮。這個正方形如果有好多，我們用這些正方形排列成乙個長方形，這個長方形長的一邊有m個正方形，寬的一邊有n個正方形。
這個長方形中有多少正方形呢？自然就是m乘以n個正方形。乙個正方形的面積為1，那這個長方形由m乘以n個正方形組成的，其面積自然就是m乘以n啦。
所以我們發現，乙個矩形的面積和他的兩個邊長的乘積有關。物理量分為數值和單位兩部分，數值相乘，單位也一同參與運算，自然就是平方長度啦。
不知道這麼解釋，能不能解答題主的疑惑
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