1樓：Trebor
用愛因斯坦的記號可能會清晰一點。
表示乙個向量與乙個一次形式的縮合，可以理解為 與 的內積。
而外積則是 ，是兩個一次形式與全反對稱張量的縮合。它的本質其實是楔積而三維空間中，二次形式正好有 個分量，與一次形式相同。我們就可以把它們都射到 上。
實際上這削弱了協變與逆變的區分，同時，也導致了「偽向量」與「偽標量」的出現。
2樓：浪裡小白龍
你可以想象在乙個二維或三維空間中，有乙個穿過原點的向量v。現在我們希望在原座標系的基上應用某種線性變換，使得原座標系中的基變換後落到這個向量v上，這樣我們就能給出乙個變換矩陣
[u1,u2]（三維中是[u1,u2,u3]），使得原座標系中的向量變換到這個以v為數軸的新的座標系中（即使v是原座標系中的乙個向量，此時應該把v看做乙個數軸，只是這個數軸恰好出現在這個空間的這個位置），這樣就得到從乙個從向量到數的變換，所以點積（內積）的結果是乙個標量。它定義了將乙個向量變換（投影）到乙個數軸（空間中任何乙個向量都可以看做乙個數軸上的一段），所以結果是乙個標量。
向量的外積其幾何意義在於找到乙個向量p使得對於另乙個向量x，將x投影到p能得出體積，類似於f(x)=x 內積 p。例如三維空間中已知向量v，w，輸入向量x，f(x)=x 內積 （v 外積 w）。v外積 w代表了v和w圍成的平行四邊形的面積以及這個平行四邊形的朝向，用向量p表示，即 v外積w=向量p
3樓：
為什麼不把向量積定義成標量呢？至少本人第一次接觸向量積，覺得很奇怪，為什麼是向量。內積已經先入為主了，為什麼向量積不能是標量。
本人高中的時候就好奇，把內積的cos替換成sin會發生什麼。於是我就和內積一樣按標量處理只是把cos換sin，然後推導基本的性質，當時我並不知道叉乘，推導的時候用乙個小△來代表這個運算。數乘，分配律等等都推導出來了，都在意料之中，令我比較吃驚的是交換律
這裡面有乙個細節，既然 ，那麼憑空給你乙個 ，它到底是正還是負？我從推導交換律的過程中就發現了一種方法確定正負，就是看a和b兩條邊的位置關係是順時針還是逆時針，規定好順時針和逆時針之後就可以統一正負。從sin的角度也很好理解，因為sin是奇函式，角度的正負對其影響很大。
這個地方其實也為之後的為什麼向量積是向量埋下了伏筆。因為所謂順逆時針只有在2維的情景下才能成立，只要推廣到3維，那麼正負根本沒法規定。
有了規定正負的方法，就可以給單位向量之間的運算規定正負了。於是我就確定了以下基本單位向量的公式：
代數形式自然而然就推導出來了：
推導到這裡再結合推論 ，高中所有2維帶向量的求面積的題目用這個運算就可以秒殺了。
2維的△已經徹底被我摸清了，自然而然就想推廣到3維，我並沒有想當然，2維的交換律以及分配律都不能直接推廣到3維，於是我就開始推導分配律，結果遇到很多困難，忘記具體過程了，總之沒推導出來。
之所以向量積是向量，恐怕就在於能否推廣到高維。
2維的時候向量積無論定義成標量還是向量根本就沒有任何區別，分配律，交換律都很簡單優雅。而到了高維，如果還是堅持用標量，就會發現基本的分配律都已經不滿足了。
而內積按標量算無論多少維，分配律等基本定律都是滿足的，其模都是 ，所以寫不寫成向量形式根本沒有區別。
至少我當時是沒找到既能把內積的cos換成sin，同時又能滿足高維的分配律和交換律的運算。當然之後知道了叉乘，原來只要把定義改成叉乘那樣的向量就能滿足分配律交換律，知道了之後覺得挺巧妙的，不曉得是誰最先想到的。
所以最終結論就是，用cos的那個運算無論標量還是向量，它都滿足很簡潔的交換律和分配律。而用sin的那個運算則必須是向量才能滿足高維的交換律和分配律。
所以帶cos的就是標量的內積。而用sin的只能是向量的向量積。
4樓：中梓星音
點乘來描述兩個長度一定的向量的「重合程度」，數值等於「重合方向投影的乘積」
叉乘來描述兩個長度一定的向量的「垂直程度（正交程度）」，模長等於「垂直方向投影的乘積，也就是圍城平行四邊形面積」
我感覺之所以這麼定義，是為散度和旋度的計算便利服務的。
散度就是某個位置（點A）上，「周圍一圈」向量的細小變化跟關於點A的位置向量的重合程度的標量和。
旋度就是某個位置（點B）上，「周圍一圈」向量的細小變化跟關於點B的位置向量的垂直程度的向量和。
散度，顧名思義，周圍向量向外發散的程度。用來描述「發散程度」，不需要用向量記錄。用乙個標量即可。（發散程度無法用乙個方向統一）
旋度，顧名思義，周圍向量跟這個向量的「旋轉程度」，那是不是就是「周圍一圈向量是不是都在繞著這個向量向乙個方向轉的」程度。如果越有這個傾向的話，這個值（模長）就會越大。為了方便描述這圈向量是繞著哪個軸轉的，我們可以用右手定則（或者你願意自己建立左手座標係用左手定則）定義旋轉軸朝向（大拇指朝向）。
所以你在向量的海洋裡面看到某處漩渦，若是叉乘的定義只是個標量的話，你將只能算出這個漩渦的旋轉的厲不厲害，但是不知道它的旋轉軸朝哪。
一切都是為了方便吧。
5樓：睎xii
兩個向量被定義出內積、外積、並積等運算，它們依次得到乙個數標量、向量、二階張量。具體情況課本都有。值得注意的是，運算本身是被一種對映定義的，而叫法是在其後的。
不是先有了叉乘才有了叉乘運算，而是先有了叉乘運算才有了叉乘。
這個問題就好比問「為什麼1＋1被定義為『2』？」不應該很trivial嘛。。。
6樓：Kushim Jiang
第一，平面直角座標系中，和 平行的向量具有 的形式，和它垂直的向量具有 的形式。寫成複數便是，與 平行的複數具有 的形式，與它垂直的則具有 的形式。即「實部為 0 則垂直，虛部為 0 則平行」。
第二，任何乙個平面直角座標系都可用四個數字唯一表示。它們是 x 軸單位向量的座標和 y 軸單位向量的座標。比如標準的座標系由 和 張成，寫成 。
又比如逆時針旋轉了 90 度的座標系，x 軸變成了 ，y 軸變成了 ，寫成 。
第三，乙個向量或者乙個點的座標，可以表達成「沿著 x 軸走了幾個單位，再沿著 y 軸走了幾個單位」。比如 就是「沿著 x 軸走了 3 個單位，再沿著 y 軸走了 4 個單位」。即 。
第四，不同的座標系下，向量或者點的座標不同。比如 x 軸變成了 ，對應於 。這個時候 就是「沿著 x 軸走了 3 個單位，再沿著 y 軸走了 1 個單位」。即 。
第五，另一種理解方法是，本來乙個向量是 ，當 x 軸變成了 之後，這個向量變成了 ，寫成 。這裡的 就像 f(x) 的 f 一樣，表示對向量的一種「操作」。而這種操作在影象中體現為對座標系的拉伸。
第六，既然可以對座標系拉伸，自然也可以將其還原。可以算得 是 的還原操作。
第七，如果要求和任意向量 平行或垂直的向量，只需要把 變成 ，於是就可以使用「實部為 0 則垂直，虛部為 0 則平行」的判斷方法了。這個操作是「把 變成 」的還原操作，為了保證原來垂直的向量仍然垂直，如果 要變成 ，y 軸的 就要變成 。所以我們要求的操作便是 的還原操作。
經過計算，它的還原操作是 。因為向量的平行或垂直和它的長度無關，所以我們只需要考慮 。在這樣的操作之下，原來的任意乙個向量 就變成了 。
所以，如果兩個向量垂直，那麼，如果兩個向量平行，那麼。
第八，我們來考慮三維向量。我們是不是需要把原來的複數寫成 ，同時使得 ？如果 x 軸、y 軸、z 軸分別代表實數軸、i 軸和 j 軸，那麼 這一操作相當於繞 j 軸旋轉，就相當於繞 i 軸旋轉，那麼如果要繞實數軸旋轉，就需要有 的操作。
這裡的「？」既不是 i 也不是 j，因為如果是 i，根據第 1 條，j = -1；如果是 j，根據第 2 條，i = 1。所以看來我們缺點啥。
第九，我們只好再引入乙個 k，使得原來的複數寫成 。同時使得 且 （幾何意義是，乙個物體先繞 x 軸轉 90 度，再繞 y 軸轉 90 度，相當於繞 z 軸轉 90 度）。這樣我們就有 ，從運算上就有了保證。
然而 這樣的形式實際上是四維空間的向量，為了讓它變成三維空間的向量，我們只能選擇讓 ，不然就會回到上一條的結果。
這樣，如何判斷兩個三維向量平行還是垂直？我們需要把 變成 ，並保證原來垂直的向量仍然垂直，於是就可以使用「實部為 0 則垂直，虛部為 0 則平行」的判斷方法了。只不過這裡虛部有 3 項。
這個操作是「把 變成 」的還原操作。
寫成複數便是，若把 變成 ，則要把 變成 ，把 變成 ，把 變成 。所以我們只需要求 的還原操作，經計算，它的還原操作為 ，因為向量的平行或垂直和它的長度無關，所以我們只需要考慮 。在這樣的操作之下，原來的任意乙個向量 就變成了 。
所以，如果兩個向量垂直，那麼，如果兩個向量平行，那麼。
前者定義為向量 和 的點積，後者定義為向量 和 的叉積。因為後者帶有 ，所以後者本質上也是乙個向量。
第十，由於 =\frac\cdot\sqrt}" eeimg="1"/>，所以點積可以表示為兩向量的模的積乘以夾角的余弦。由於 =\sqrt} \\&=\sqrt}\\ \\&=\frac}\sqrt} \end" eeimg="1"/>
所以叉積的長度可以表示為兩向量的模的積乘以夾角的正弦。還可驗證叉積的方向均垂直於兩個向量，且自動遵循右手定則。
3Blue1Brown. 線性代數的本質. Bilibili.
3Blue1Brown. 四元數的視覺化. Bilibili.
7樓：楊柳
因為向量積得到的不是向量，實際上是2-向量。在R3裡，向量和2-向量有Hodge對偶。
改天有空寫寫描述歐氏空間向量的Gibbs, Hamilton, Grassmann和Clifford四種語言的興衰史，先佔坑。
8樓：YorkYoung
把內積定義成向量就是要定義一種運算 滿足
暫且規定這個運算雙線性且滿足分配率，至於結合律交換律我們暫且不管，那麼我們看內積的性質如果 ，必有 從而推出
如果我們有全空間的一組正交歸一基 那麼
假設 ，那麼
那麼原來的要求就是：
為了使等式恆成立，必有 ，即 與 無關，且 。
所以 其中 是單位向量。
所以你要的運算就是在內積後面乘以乙個任意單位向量，這種運算大概價值不高。
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