1樓：weihong538
還在自學電磁場，遠沒到張量相關。這也是自己思考的問題，所以淺顯的說下。
乙個3元實函式表示數量場，它求梯度變為向量場，即3個3元實函式有序組合。
向量場的數學模型就是3個3元實函式有序組合，對它求梯度，就是對它的3個3元實函式分別求梯度，最後得到的是9個3元實函式的有序組合。這不能用向量函式來描述，正好有數學中有張量適合它。
2樓：杜帥
高讚答主 @BigZi的回答不錯，我想稍做補充，沒什麼高深理論，畫幾個圖方便理解。
維基百科上關於向量用的這個配圖，是標量場 的梯度向量線影象，將等值線與梯度向量線進行比較可以看出：標量場的梯度場是乙個向量場，向量線與標量場的等值線垂直。
根據梯度的定義我們知道，梯度的方向是某點處變化率最大的方向，大小等於變化率，也就是最大的方向導數。
維基百科還提到可以用一座山來模擬，所以我們可以畫這樣的三維圖：
將標量場畫成乙個曲面，然後在曲面的不同位置沿梯度方向畫切向箭頭，箭頭是從谷底向頂峰方向的，也就是函式增大最快的方向。
像這樣的標量場其實就是這個梯度場的勢函式，我們可以用重力勢能來理解一下，假設有一處地形就如圖中曲面形狀，由於重力勢能與高度一一對應 ，所以地形圖就是這個重力勢能場的影象，那麼梯度就是 ，也就是重力mg乘以高度的方向導數，相當於就是重力在梯度方向的分力。
想象乙個小球放在斜面上，它會向哪個方向運動呢，很顯然是梯度的反方向，也就是重力勢能減小最快的方向。
（補充乙個題外話，經常在知乎看到有人問關於科學研究意義的問題，有人覺得是研究事物變化的原因，有人覺得是研究事物變化的規律，其實這個例子就可以思考，如果說原因，小球是因為受力而向下運動，還是因為重力勢能減小最快而向下運動呢？是力產生了勢能場，還是勢能場產生了力呢？其實只是從不同角度描述規律而已。
）然後是向量場的梯度。
上邊的梯度場 就是乙個向量場，可以寫成兩個方向的分量：
這兩個分量都是標量，自然都可以求梯度，得到
也就是說向量的梯度，需要用並矢，也就是乙個二階張量
注意這兩個哈密頓運算元並非叉乘或點乘，並不能寫成拉普拉斯運算元
這個張量圖想不出特別好的表示方法，我用兩個向量圖疊加來表示一下吧：
之前寫過以應力作為例子介紹張量的一篇回答，沒有聽說過張量的可以看一看：
物理量上有沒有既不是向量也不是標量的？
3樓：韓奕
標量的梯度可以認為標量在給定座標系下的變化率，數學上簡單講就是這個標量對於座標的導數。nabla是乙個向量算符，直接作用在向量上會產生乙個二階張量，其物理意義就是這個向量的各個分量在給定座標系下的變化率，對於三維空間來說，梯度算符作用在向量上會產生九個量，可寫成乙個矩陣，這九個量就是向量的三個分量在三個座標方向上的變化率。以此類推，梯度算符作用在二階張量上會得到乙個三階張量。
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