1樓：NekoFlan
散度：以電場為例。電場是乙個向量場。每乙個點上的電荷都會受到乙個電場力，力有大小和方向。
電場強度的定義式F=qE，E是乙個向量，故E構成乙個向量場。
從形象的理解上來看，每乙個向量類似於乙個箭頭。向量互相連線組成了電場線。
散度可以理解為「乙個點處，發出/收回的電場線的量」。
有些點的電場線向外發出（正電荷），這些地方的散度》0。
有些點的電場線向內收（負電荷），這些地方的散度<0。
故，根據麥克斯韋方程和散度定理，可以得到物理上的高斯定理。
旋度：以水流為例，每乙個點上放乙個無限小的小片，它會因為受力不平衡而旋轉。旋度是乙個向量，其方向和旋轉軸相同，旋轉的角速度和旋度成正比。
2樓：
特地翻了翻電動力學課本。
有一點要明白，並非我們定義乙個向量為散度，而是先定義了散度是向量的通量/體積的趨0極限，之後通過高斯定理計算出散度等於向量。
有些老師總是喜歡說「我們把向量叫做散度」。 因果錯誤了喂。
另外，我總覺得叫做噴發度更形象一點XD
旋度同理
3樓：真諦
已知的最早的關於散度和旋度的描述都來自麥克斯韋2023年的《A Treatise on Electricity and Magnetism》（電磁通論）一書。因此，為了探明散度和旋度的物理意義，有必要回到那本2023年的專著來看。
麥克斯韋很大程度上繼承了哈密頓的四元數觀點。四元數論認為，四維空間中的一點可以通過 來表達，而三維空間中的一點 則可以通過 、 、 來表示。於是，麥克斯韋將三維空間中一點的位矢設定為 ，將該位矢對應的向量函式稱為 .
隨後，麥克斯韋對 應用 Nabla 運算元。
根據四元數的乘法規則，可以得到所乘結果的標量部和向量部分別是
麥克斯韋發現，運算元的標量部和向量部分別可以和兩個定理對應起來。這兩個定理就是位於其書中鋪墊部分的第21節的定理三（通量指向乙個閉合曲面內部的面積分，可以表示成在曲面內部所求散度的體積分）以及第24節的定理四（沿一條閉合曲線計算的乙個線積分，可以用以該曲線為邊的乙個曲面上的面積分表示出來）。其實這兩個定理就是高數中的高斯公式和斯托克斯公式。
也就是說，麥克斯韋的思路是：通過數學計算證明高斯公式和斯托克斯公式 → 通過四元數計算得到 Nabla 運算元的標量部和向量部 → 把前兩者聯絡起來 → 給出物理解釋。
麥克斯韋認為，標量部的結果可以這麼解釋。假設 點的向量函式 的值為 ，在審視 的鄰域上的 的值時，根據高斯公式，如果圍繞著 點畫乙個閉合曲面，此時若 在這曲面上的面積分是指向內部的，則原運算元的標量部為正。而 點附近向量在總的看來將是指向 的。
麥克斯韋建議把運算元的標量部稱為 convergence（散度）。早期教材也有稱為斂度的。
至於運算元的向量部，麥克斯韋認為，可以假設從該向量的方向來看。同樣地，審視 的鄰域上的 的值時，根據斯托克斯公式，這個差的向量總的來說呈逆時針方向，並呈切線狀。
麥克斯韋建議把運算元的向量部稱為 curl 或 version（旋度）。
與麥克斯韋不同的是，我的觀點並不包含四元數的思想，僅僅從梯度的概念出發進行推導。我認為散度、旋度都是從梯度而來。
眾所周知，標量場可以有梯度，向量場也可以有梯度。
假設有一標量場 ，則其梯度為
同理，對於一向量場
它的梯度為
此時，對於右方的單位向量乘法有兩種處理方式。
第一種方式，採用點乘，體現它的數量上的性質，得到散度
第二種方式，採用叉乘，體現它的旋轉上的性質，得到旋度
4樓：地痞黃六
推導一下旋度表示式應該對理解有幫助設向量場
在xoy上取一小正方形
小正方形的環流量
即可得出對應的旋度
同理可求出另外兩個旋度
最後得出向量場f的旋度
5樓：Seclee
我來乙個簡略的答案，作為光學相關專業學生，我們都是這麼理解的。相關知識見電動力學。
散度，可以理解為場源性質（比如電場的散度就是電場的場源，場源是電荷。相比，磁場是沒有源的，磁場線閉合，所以磁場散度始終為0）。
旋度描述的是偏轉性質。靜電場電場線是直線，不偏轉，所以此時電場旋度為0。
6樓：劉智
從物理的角度這樣理解：
散度就是點電荷的電量密度，可以通過對電量密度的體積分求電通量，反之亦然；
旋度就是導線的電流密度，可以通過對電流密度面積分求圍繞導線一圈的磁場強度的閉合環路積分，反之亦然。同時旋度方向可理解為導線的電流方向。
7樓：Feng Qiang
散度的物理意義可以參見電磁場中的高斯定理，旋度的物理意義可參見電磁場中的安培環路定理，明白了這兩個定理的證明和推導，自然就理解了。
8樓：
拿水做比方
散度為不為零就是看有沒有源，江裡面一般沒有散度，有了小溪匯入或者排水管排水，就有散度了
旋度為不為零就是看有沒有旋渦或者小迴圈，一般水管裡面不會有，水大體都是朝乙個方向走，海上一般存在旋度，俗稱渦流
9樓：Luyoung
我就不用圖形和公式解釋了，簡單談幾點看法。
首先，散度與旋度描述的物件都是向量場中某一點的性質，知道了這一點我們在研究物理問題時就能很好的借助數學中的向量函式方便的研究。
散度，指的是空間某一點源的性質，也就是該點的發散情況，值是乙個具體的數，為0時則認為該點不發散，或者發散為0 。例如空間中的乙個點電荷（數學意義上的點），該點處的散度就是該點電荷的電荷量。
旋度，描述的就不像散度那樣簡單了。P 點的旋度定義：向量場在P點處的旋度為一向量，其數值為包含P點在內的小麵元邊界的環量與小麵元比值極限的最大值（或該點的最大的環量密度），其方向為極限取得最大值時小面積元的法線方向en，即：
旋度與環量密度的關係：
因此，某一點的旋度是乙個向量，它的方向是極限取得最大值時小面積元的法線方向en。
（1） 如果向量場的任意閉合迴路的環量恒為零，該向量場為無旋場，又稱為保守場。
（2）如果向量場對於任何閉合曲線的環量不為零，稱該向量場為有旋場，能夠激發有旋向量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。
（3）斯托克斯公式則是三維的格林公式，有時間再更。
說不用公式，還是用了兩個公式/哈
10樓：
看了回答，感覺都沒有回答到物理問題的核心。
不管是經典力學還是量子力學
梯度對應的是空間動量，旋度對應的是空間角動量。
所有向量都可以化為梯度場和旋度場。此即霍姆赫茲定理。
梯度場的旋度為零，對應動量守恆。
旋度場的散度為零，對應角動量守恆。
11樓：賴豪傑
散度，就是通量密度，理解散度要與通量聯絡起來。通量即通過乙個面的某物理量（公式見下，A為某向量場），假設一球面，它的光通量就是通過球面進出的光總和，把通過球面的通量除以球體積（模擬密度概念，故散度為通量密度），然後讓球體積無限小，比值就是散度。散度表示每乙個點到底是射出去光（源）還是吸進來光（匯）。
散度是通量密度，所以散度的體積分就是通量（就是大家講的：要知道球面光進出了多少，看看球體內有多少源和匯就知道了），即高斯定理（面積分等於體積分）。在流體力學中，速度場的散度是體積膨脹率，表示各個方向的線變形速率之和，其為0，表示在任何乙個方向拉伸，必有另乙個方向的壓縮，表示流體不可壓縮。
旋度，就是環量密度。 （感謝@王廣輝的指正，散度為標量理解為密度是可行的，但是旋度是向量，不能等價於密度，只是一種模擬吧）環量表示把某一物理量沿著一條閉曲線的路徑積分，舉個例子，水裡有個漩渦（圖1），沿著圓周關於速度的線積分就是環量，環量除以圓面積，然後讓面積無限小，比值就是旋度。旋度可以理解為圓中每乙個點旋轉強度。
旋度是環量密度，所以在圓裡旋度求面積分就等於該環量（就是 @Ray WEN 講的：要知道一捆芹菜多少根，看看捆的繩子有多長就好了），即斯托克斯公式（線積分等於面積分）。
散度，旋度是向量場的某種性質，就像是密度是物質的性質一樣。
12樓：丁尹
我說，散度和旋度對不同的學科而言，估計都不同吧.
旋度最好理解，為了方便理論分析，對於乙個向量場的旋轉程度找了乙個量來定義，這就是旋度。
而散度從工科上較為通用的解釋則是從乙個給定的點所在的無窮小的體積元中，向量場的流出通量的體密度。
13樓：宋鵬雲
根據散度和旋度的定義，散度是標量，只有大小，可以想象為點光源向四周輻射光線，由散度可以計算出閉合曲面的通量。如果某向量場在某點的散度不為零，就說明存在輻射該向量的源頭，例如光源、水源、電荷等。旋度是向量，有方向，其對某個曲面的通量就等於繞該曲面邊緣封閉路徑的環量。
如果某點旋度不等於零，說明該點鄰域存在類似「漩渦」的向量場的分布。可以參考前面關於芹菜和繩子的比喻，也可以結合電場與磁場的性質來理解其意義。
14樓：
這倆概念要結合積分來用：
散度(divergence):
想知道有多少東西（由乙個向量場表示的物理量）通過了乙個閉合曲面，可以轉化為在這個閉合曲面內有多少這個物理量的散度， 即
物理量的閉合曲面積分 = 物理量的散度的體積分。
旋度(curl):
想知道在乙個閉合曲線上有多少東西（由向量場表示的物理量），可以轉化為有多少該物理量的旋度通過了該閉合曲線所圍成的曲面，即
物理量的閉合曲線積分 = 物理量的旋度的曲面積分。
實際上，散度和旋度是統一的，在微分形式語言中，對高維的、推廣的流形（曲面），對第n個維度的曲面上的乙個「微分形式」積分，可以轉化為對第n-1個曲面上的另乙個「微分形式」的積分，這兩個微分形式的聯絡要用到「外積」的概念。這是廣義的stokes定理。
在三維歐幾里得空間裡，等價於我們熟希的散度和旋度。
15樓：
大一完，暑假複習時花了好久理解了那幾個公式。
通量與散度
散度描述乙個向量函式 f(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k（向量場）在各個點源和洞的情況。
環流量描述在向量函式 f(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k（向量場）的作用下，沿閉合曲線迴轉速度的一種量度，當向量場在這個點的方向越接近曲線切線的方向，迴轉速度就越快。
旋度為具體到某乙個點的迴旋情況。
物理中引入散度旋度有什麼意義？
北京路 上大學物理時查過一本英文教材，從俄文翻譯過去的，作者忘了。書裡解釋了那兩個公式，說刻畫了 守恆 這個事實，連證明都沒有我就信了。上高數課時老師說歐美的微積分教材是不教場論初步的，那部分內容在物理課裡講。 回答裡有個同學講到不依賴座標系 因為物理規律是不依賴座標的，其次物理量有很多是向量的。而...
電磁場中電場的旋度的物理意義
得飲閒茶 這個其實很簡單。總共有兩種型別的場線，一種是有頭有尾，另外一種是乙個圈，無頭無尾的。光用散度只能說明第一種線是否存在，還要有旋度說明第二種線是否存在。有散無旋，只有第一種線 有旋無散，只有第二種線。有散有旋，兩種都有。 曾彥博 1.我一開始也糾結這個問題，但現在不了。乙個問題回答到差不多的...
在影象處理中，散度 div 具體的作用是什麼？
王小龍 1.什麼是散度？2.散度在影象處理中有何應用 1.什麼是散度 1.1 散度的定義 散度是作用在向量場上的乙個運算元。用三維空間來舉例，向量場就是在空間每一點處都對應乙個三維向量的向量函式 比如海洋裡，各點在單位時間單位體積中水的流量就是乙個三維場，稱為通量場，它等於速度場和密度場的乘積。向量...