1樓：王小龍
1. 什麼是散度？
2. 散度在影象處理中有何應用
1. 什麼是散度
1.1 散度的定義
散度是作用在向量場上的乙個運算元。
用三維空間來舉例，向量場就是在空間每一點處都對應乙個三維向量的向量函式：
。比如海洋裡，各點在單位時間單位體積中水的流量就是乙個三維場，稱為通量場，它等於速度場和密度場的乘積。
向量場的散度運算元定義為：
。它是乙個標量函式(場)，也就是說，在定義空間中每一點的散度是乙個值。
1.2 散度的物理意義
用水流來解釋，散度的物理意義可以敘述為：
如果一點的散度大於0，那麼在這一點有乙個水龍頭不斷往外冒水（稱為源點）
如果一點的散度小於0，那麼在這一點有乙個下水道，總有一些水只進不出（稱為匯點）
如果一點的散度等於0，那麼在這個點周圍的小區域裡，單位時間進來多少水就出去多少水。
1.3 數學推導
假設是水的通量場，咱們來看看在一點的附近到底發生了什麼。以這一點為中心，用乙個邊長分別為的平行於座標軸的長方體盒子包圍它，來詳細分析長方體各表面向外跑了多少水。先看盒子在方向上的兩個面：
第乙個面是乙個面積為的長方形，它的中心座標是，這一點的通量是，用Taylor展開式可以近似為：，又因為這一長方形的外法線方向是，因此這一面在單位時間向外的流量就是二者相乘再乘以面積，由於法線的特殊形式，y、z分量自動消失了：
同理，在x負半軸上的那個面單位時間向外的流量是：
因此單位時間在x方向上的總的向外的流量是：
把三個座標軸向外的流量加在一起，我們就得到了圍繞點，體積為的長方體單位時間向外的流量是。
因為乙個區域是由很多小正方體組成的，給定乙個複雜區域，其單位時間向外的總流量就是把每乙個小區域向外的流量加起來，因為內部相互抵消，最終只有區域邊界上的值得以展現，這樣就得到了：
其中是區域D的邊界， 是區域邊界上外法線方向的面積元。這個式子的含義是指跑出區域的總水量等於區域中散度的積分，也等於區域邊界上向外的流量的積分。
平均到乙個點上，單位時間向的外流量密度就是
這是散度的物理意義。
乙個區域無論多複雜，只要不包含源點和匯點，其上散度逐點為0，因而區域的總向外流量也為0，1.2中所述的其他情形也可以相應獲得。
1.4 散度與擴散
假設在空間中有乙個濃度場(密度場)，代表在時刻t，在任一點，單位體積的某種物質的分子個數，考慮到物質守恆，物質不會自生自滅，小區域中濃度的變化必然是由於有物質流進流出造成的，這種守恆可以用著名的連續性方程的微分形式來刻畫：
其中F是通量。
從而連續性方程就變成了擴散方程：
為了更加直觀地理解，咱先略去擴散係數K，這樣方程就變成了：
等式右邊被稱為Laplace運算元，一般用乙個正三角來簡寫，你可以用二階導數來理解它。在一小段時間間隔上，這個方程可以離散化為：
直接含義就是：在每個小時間段內，如果乙個點的二階導數大於0，則把它的濃度增加一些，如果乙個點二階導數小於0，則把它的濃度降低一些。因為二階導數大於0的點往往是下凹的點，是區域性極小值，因此增加它可以讓區域性濃度變平滑;類似地，二階導數小於0的點往往是上凸點，是區域性極大值，減少它可以讓濃度中和。
當時間趨向於無窮大時，方程達到穩定，左端為0，那麼我們就得到穩定值滿足的條件：整個區域上散度為0。也可以理解為最終消滅了所有的源點和匯點，場變得光滑了，擴散就終止了。
2. 散度在影象去噪中的應用
在影象領域散度運算元主要用在去噪中。假設一幅影象為，它的梯度運算元是乙個二維場，那麼我們立即可以用散度運算元構造乙個擴散方程：
把這個擴散方程作用於影象就可以去噪了，上面已經解釋了它的作用過程是比較影象上的每個點，如果乙個點值比周圍點低，就增加它，如果比周圍點高，就減少它，實質就是平滑影象。但是由於它是各向同性的均勻擴散方程，導致影象上所有細節均勻模糊，去噪效果很糟糕。
Perona和Malik在90年代初發現，由於影象邊緣往往處在梯度值較大的點處，如果擴散方程在梯度值較大的區域減速擴散，在梯度值較小的區域加速擴散，則可以在著重去噪的同時保護影象有用細節。他們修改後的擴散方程就是有名的P-M方程：
，起到在去噪的同時保護邊緣的作用。散度形式和方向導數形式的擴散方程是隨後P-M方程改進的兩個主要方向。
基於擴散方程的去噪方法的優點主要有：
結合微分幾何和物理方程，比較高大上；
可以控制影象區域性區域的擴散特性，對影象的控制力強；
易於推廣到三維和更高維以及流形（比如地球表面）上，方程都不用變。
缺點主要有：
速度慢，因為是迭代演算法；
擴散會導致邊緣發生一定程度地移位；
理論難於往深發展。
最後請欣賞梵谷的名畫星空：
各向同性擴散方程對其進行均勻平滑的結果（啥都看不清了）：
如果第一幅圖是初始濃度，這一幅圖就是一段時間後的中和了的濃度。最終，影象成為一張純色畫布，恰好是原始影象的均值。這一過程在數學上嚴格等價於對影象做方差不斷增大的高斯卷積。
修改擴散係數後方向可控平滑的結果（只沿著邊緣擴散，保護邊緣）：
明顯可以看出，在平滑雜訊（細小顏色雜質）的同時，大邊緣得到了很好地保留。
注：原文關於函式g的敘述有錯，感謝xiao huang的細心觀察！
參考文獻
1. R.P.Feynman et al. 費恩曼物理學講義（第二卷）.上海科學技術出版社, 2005.
2. 王大凱, 侯榆青,彭進業. 影象處理的偏微分方程方法. 科學出版社, 2008.
3. 王小龍,彭國華. 彩色影象的方向擴散去噪模型研究[J]. 計算機工程與應用, 2013, 49(22): 208-211.
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