1樓：北京路
上大學物理時查過一本英文教材，從俄文翻譯過去的，作者忘了。
書裡解釋了那兩個公式，說刻畫了「守恆」這個事實，連證明都沒有我就信了。
上高數課時老師說歐美的微積分教材是不教場論初步的，那部分內容在物理課裡講。
2樓：
回答裡有個同學講到不依賴座標系:
因為物理規律是不依賴座標的，其次物理量有很多是向量的。而向量的規律也是不依賴座標的。於是出來那麼一門課，就叫《向量分析》(還會牽扯到一些場論的)。(搜搜有書，一些課件也可以吧)
其實就是同濟六版多元微積分提到的向量值函式。很多向量分析中的東西都穿插在書裡。。。後面同濟的是直接從正交直角座標系下推出格林，高斯，stokes定理。
比較繁瑣，而且簡單引入，給個定義:通量散度環量旋度這些。向量分析裡面直接按向量處理，用向量引出這些概念。
定理推出來也是向量形式，這就不依賴於座標了。在不同座標下可以賦予不同形式。
所以。。。找一本向量分析的書，or網上課件，都會講到三大定理。。比較明了。
同濟六版也可以看，涉及三大定理的初步了解下。曲線積分曲面積分這幾節倒要好好看看。這裡同濟後面給出了向量形式。
還有向量線積分的。。
3樓：gyroscope
這是Helmholtz定理決定的。邊界條件不變的情況下，給定散度旋度能唯一確定乙個向量場。所以散度旋度可以完全描述乙個向量場。
4樓：馬晨
之前的各位從幾個具體的方面回答了一下，我來從比較抽象的方面回答。
先說結論：物理上梯度散度旋度是希望找到乙個座標變換下不變的微分，從而用這樣的微分寫出座標變換下不變的物理學方程。
物理上的空間，是乙個帶有若干基矢，同時定義了距離的空間。物理學的實際要求我們在這個空間內求導數，隨後就出現問題了：求導數這個過程，在座標變換下是不變的嗎？
這個問題答案是：不一定。我們很容易想到這樣的例子，比如，在旋轉變換下可能會變成。
但是物理學定律首先要求的就是座標變換的不變性，不能因為你換了一套座標物理規律就變了，所以我們希望得到乙個座標變換不變的導數。
幸運的是，這是比較容易做到的。假設我們做這樣的座標變換：，給出微分形式是因為要包含曲線座標變換的情況。
這樣一來，我們如下構造乙個量：，代表基矢，同時是個標量函式，我們對這個量做座標變換：
，用愛因斯坦求和約定。
代入座標變換，我們得到：
於是，我們找到了想要的不變數，這樣就引入了梯度。
旋度也是一樣，我們這樣構造乙個量：
用了愛因斯坦求和約定。
代入座標變換容易知道，這個量也是不變的。
對於向量，我們還可以構造這樣的不變數：
這個量嚴格來說在座標變換下會多出來乙個標量因子，但是在積分中這個標量因子會消失掉，在這個意義下是不變的。
於是，我們會發現物理學方程基本上都是用這些微分寫成的。正好前兩天看到乙個問題是如何判斷方程的洛倫茲不變性，這就是答案：如果我們的方程使用某種變換下不變的量寫成的，那麼方程自然就擁有這種變換下的不變性。
反過來說，如果我們要總結出某種物理現象的方程，這方程裡也只能包含在一些基本變換下不變的量，這裡的基本變換在經典領域是伽利略變換，在相對論中是洛倫茲變換等等。
5樓：
Divergence(散度)和Curl(旋度)的主要作用目前看來好像就是方便積分，其中Divergence Theorem和Stokes Theorem可以轉化散度和旋度的複雜的積分到簡單一點的形式。(其實也不是每乙個轉了之後都變得更好的)
物理上的理解也許採用流體力學的版本較好，乙個點的散度測量水流流進和流出這個點的速率，乙個點的旋度測量這個點水流旋轉的快慢。
未完待續
6樓：靈劍
我們可以把向量場看作是描述某種物質的流動，每個點上的向量代表這個點上物質的流動速度，或者說單位時間流過單位截面積的流量。散度是向量場當中，某個點流入的量與流出的量的差，它代表向量在這個點上某種累積的效應，如果散度不為零，流動的這種「東西」一定在這個點上被創造出來，或者終結到了這個點上，就好像電荷的電場產生於正電荷，終結於負電荷一樣。
旋度代表流量在這個點附近的繞行的流量的差異，也就是類似於「繞過左邊的比繞過右邊的少」這件事。這說明流量在這個點附近打圈。由於「繞過」是有方向性的，所以旋度是個向量，垂直於「繞過」的所在平面。
它其實暗示著能量流動在這個點附近是不均勻的，這種物質在這個點附近獲得了或者損失了能量（體現在獲得或損失速度上）。如果沒有旋度，流量從點的左邊或者右邊流到同乙個位置，能量的變化是相同的，這說明能量在這個向量場當中是守恆的，可以利用積分規定乙個勢能，使得流量流動過程中獲得或減少的動能與勢能差相等。如果有旋度，則物質在這個點附近繞行一周，動能會增加或減少，就不能規定勢能。
我們可以想象一下一種液體從乙個點兩邊流過時，左邊流過的比右邊的少，這說明要麼左邊有一些摩擦力導致損失了能量，要麼右邊有一些使液體加速的機制導致了這個差異。
可以簡單粗暴總結為：
散度是某一點附近流過質量的變化率；旋度是這一點附近流的機械能的變化率。
如果用場線的話，也可以類似描述為：散度是某一點附近場線數量的變化；旋度是某一點附近能量差的變化
我們用乙個曲面圍住這個點附近的空間，考慮流過的物質的量，就可以得到高斯定理：第二類曲面積分等於散度的體積積分；我們用一條曲線繞這個點一周，考慮沿曲線流量的變化，就可以得到環路積分定理。
7樓：盧健龍
在幾何直觀的意義上，乙個靜態向量場的變化可以分為兩方面：
一方面是沿著徑向的變化，這一點便由散度來度量。沿徑向向內或向外的差別則由散度的正負號體現。
另一方面是沿著切向的變化，這一點由旋度來度量。為了描述切向的取向（順逆時針），所以用右手定則使旋度成為乙個軸向量。
進一步地又可以得到散度定理和旋度定理，它們都是廣義斯托克斯公式的特殊情況。
8樓：馬躍
跟上面那位一樣，我個人的理解也比較粗暴
與分量形式對比的話，很顯然表述大大地簡潔了。
與積分形式對比的話，微分形式看上去能更直觀地感受到物理影象，而且也很容易看出怎麼匯出波動方程並預言光速的。處理很多問題時，很多時候用起來也更方便。
個人愚見
9樓：xingming Zhenshi
瀉藥。乙個偉大的問題，但是我也不是謙虛，我連Maxwell方程組都不會寫，還是另請高明吧。我認為引入這些數學概念就是為了從數學上更完好地描述場。這是乙個偉大的方程組。
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